2.50 Uma caixa móvel e seu conteúdo pesam 3.150 N . Determine a menor linga de corrente A C B que pode ser usada para suspender a caixa carregada desde que a tração na corrente não exceda 5.625 N .

Passo 1

O enunciado diz que uma caixa e seu conteúdo pesam 3150\\ \text{N}. A caixa é suspensa por uma corrente em duas partes que se encontram no ponto C, formando a cadeia A\!-\!C\!-\!B. A tração em cada ramo da corrente não deve exceder 5625\\ \text{N}.
Pergunta clara: qual é o menor valor do ângulo \angle ACB (ângulo entre os dois ramos da corrente) que pode ser usado de modo que a tração em cada ramo não ultrapasse 5625\\ \text{N}?
Dados relevantes do enunciado:
W = 3150\\ \text{N},\qquad T_{\max} = 5625\\ \text{N}.
Nada mais é fornecido; assumimos simetria (os dois ramos têm a mesma tração e fazem o mesmo ângulo com a vertical), que é o caso padrão quando os pontos A e B estão ao mesmo nível e a carga pende em C.

Passo 2

Entendendo as forças e como resolver (aula rápida e prática): coloquei a caixa presa em C. Cada ramo da corrente (de C até A e de C até B) está sob a mesma tração T (assumindo simetria). A força peso W atua vertical para baixo. Para equilíbrio vertical, a soma das componentes verticais das traçãoes deve equilibrar o peso. Se cada ramo forma um ângulo \alpha com a vertical, a componente vertical de cada tração é T\cos\alpha. Como existem dois ramos, a condição de equilíbrio vertical é:
2T\cos\alpha = W.
Aqui:
  • T é a tração em cada ramo da corrente (força na corrente);
  • \alpha é o ângulo entre um ramo da corrente e a vertical;
  • W é o peso da caixa.
O ângulo pedido no enunciado é o ângulo entre os dois ramos, que chamaremos de \theta=\angle ACB. Pela geometria, \theta = 2\alpha, então \alpha = \theta/2. Substituindo \alpha na equação de equilíbrio vertical obtemos a relação entre T, W e \theta:
2T\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=W.

Passo 3

Isolando T a partir da fórmula de equilíbrio vertical (esta é a fórmula chave para este tipo de problema):
T=\frac{W}{2\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}.
Explico: resolvemos para T dividindo ambos os lados por 2\cos(\theta/2). Essa fórmula diz como a tração em cada ramo cresce quando o ângulo entre os ramos aumenta (porque \cos(\theta/2) diminui).
Queremos que a tração não exceda T_{\max}. Então impomos
\frac{W}{2\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)} \le T_{\max}.
Rearranjando para \cos(\theta/2),
\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right) \ge \frac{W}{2T_{\max}}.
Isto é intuitivo: para que T seja menor que o limite, a componente vertical \cos(\theta/2) tem de ser suficientemente grande.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
\frac{W}{2T_{\max}}=\frac{3150}{2\cdot 5625}=\frac{3150}{11250}=0{,}28.
Portanto
\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\ge 0{,}28.
Tomamos o caso limite (quando a tração atinge exatamente o máximo permitido), porque aí obtemos o ângulo crítico. Assim
\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=0{,}28.
Agora aplicamos a função arco cosseno para obter \theta/2:
\frac{\theta}{2}=\operatorname{arccos}(0{,}28).
Calculando (em graus, com aproximação): \operatorname{arccos}(0{,}28)\approx 73{,}772^\circ. Então
\theta = 2\cdot 73{,}772^\circ \approx 147{,}544^\circ.

Passo 5

Interpretação física e observação didática: a fórmula e a monotonicidade do cosseno mostram que, quanto maior o ângulo \theta entre os ramos, menor é \cos(\theta/2) e maior fica a tração T. Assim existe um ângulo crítico \theta acima do qual a tração ultrapassa o limite T_{\max}. O valor que calculamos é esse ângulo crítico; ou seja, para que a tração não exceda 5625\\ \text{N} é necessário que \theta \le 147{,}544^\circ. Qualquer ângulo menor do que esse deixa tração menor que o limite (mais seguro), e ângulos maiores tornam a configuração insegura.

Resposta

\theta \approx 147{,}54^\circ

Exercícios relacionados