2.50 Uma caixa móvel e seu conteúdo pesam 3.150 N . Determine a menor linga de corrente
que pode ser usada para suspender a caixa carregada desde que a tração na corrente não exceda 5.625 N .
Passo 1
O enunciado diz que uma caixa e seu conteúdo pesam
. A caixa é suspensa por uma corrente em duas partes que se encontram no ponto
, formando a cadeia
. A tração em cada ramo da corrente não deve exceder
.
Pergunta clara: qual é o menor valor do ângulo (ângulo entre os dois ramos da corrente) que pode ser usado de modo que a tração em cada ramo não ultrapasse
?
Dados relevantes do enunciado:
Pergunta clara: qual é o menor valor do ângulo
Dados relevantes do enunciado:
Nada mais é fornecido; assumimos simetria (os dois ramos têm a mesma tração e fazem o mesmo ângulo com a vertical), que é o caso padrão quando os pontos
e
estão ao mesmo nível e a carga pende em
.
Passo 2
Entendendo as forças e como resolver (aula rápida e prática): coloquei a caixa presa em
. Cada ramo da corrente (de
até
e de
até
) está sob a mesma tração
(assumindo simetria). A força peso
atua vertical para baixo. Para equilíbrio vertical, a soma das componentes verticais das traçãoes deve equilibrar o peso. Se cada ramo forma um ângulo
com a vertical, a componente vertical de cada tração é
. Como existem dois ramos, a condição de equilíbrio vertical é:
Aqui:
-
é a tração em cada ramo da corrente (força na corrente); -
é o ângulo entre um ramo da corrente e a vertical; -
é o peso da caixa.
O ângulo pedido no enunciado é o ângulo entre os dois ramos, que chamaremos de
. Pela geometria,
, então
. Substituindo
na equação de equilíbrio vertical obtemos a relação entre
,
e
:
Passo 3
Isolando
a partir da fórmula de equilíbrio vertical (esta é a fórmula chave para este tipo de problema):
Explico: resolvemos para
dividindo ambos os lados por
. Essa fórmula diz como a tração em cada ramo cresce quando o ângulo entre os ramos aumenta (porque
diminui).
Queremos que a tração não exceda
. Então impomos
Rearranjando para
,
Isto é intuitivo: para que
seja menor que o limite, a componente vertical
tem de ser suficientemente grande.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
Portanto
Tomamos o caso limite (quando a tração atinge exatamente o máximo permitido), porque aí obtemos o ângulo crítico. Assim
Agora aplicamos a função arco cosseno para obter
:
Calculando (em graus, com aproximação):
. Então
Passo 5
Interpretação física e observação didática: a fórmula e a monotonicidade do cosseno mostram que, quanto maior o ângulo
entre os ramos, menor é
e maior fica a tração
. Assim existe um ângulo crítico
acima do qual a tração ultrapassa o limite
. O valor que calculamos é esse ângulo crítico; ou seja, para que a tração não exceda
é necessário que
. Qualquer ângulo menor do que esse deixa tração menor que o limite (mais seguro), e ângulos maiores tornam a configuração insegura.