Para a viga de seção transversal (
)
indicada, expresse relações em função de b ,
,
e
, para as tensões máximas resultantes do carregamento indicado.
indicada, expresse relações em função de b ,
Passo 1
O enunciado pede: “Para a viga de seção transversal
indicada, expresse relações em função de
,
,
e
para as tensões máximas resultantes do carregamento indicado.” \n\nInformações explícitas que o enunciado fornece: \n- seção retangular com largura
e altura
. \n- parâmetros
e
aparecem no enunciado. \n\nProblema prático: a figura (que mostra o tipo de carregamento e a posição de
e como
entra) não foi enviada. Sem essa figura não é possível saber unicamente quais elementos internos aparecem (momento fletor
, força cortante
, força axial
) e como
e
se relacionam com essas forças. \n\nDecisão adotada (sem te perguntar nada, como você pediu): vou apresentar (1) as fórmulas gerais para as tensões máximas numa seção retangular (tensão normal por flexão e tensão de cisalhamento transversal), com dedução passo a passo; (2) duas interpretações práticas comuns que ligam
e
ao carregamento e que permitem escrever as tensões finais em termos de
: \n- Caso A: momento puro aplicado
(sem força cortante). \n- Caso B: viga em balanço (cantilever) com carga concentrada
na ponta tal que
(caso clássico em provas). \n\nSe a sua figura for diferente, me diga depois, mas com base nessas duas interpretações você já terá as relações que normalmente a questão quer.
Passo 2
Aula rápida sobre tensão normal por flexão (flexão simples) — conceito e fórmula básica. \n\nQuando uma seção sofre um momento fletor interno
(positivo segundo convenção), aparece uma distribuição de tensões normais
ao longo da altura da seção dada pela fórmula da flexão simples: \n
onde: \n-
é a tensão normal (positivo tração ou compressão conforme convenção; aqui usamos a forma genérica). \n-
é o momento fletor interno na seção considerada. \n-
é a coordenada vertical medida a partir do eixo neutro (no centro da seção retangular
;
positivo para cima). \n-
é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em torno do eixo neutro. \n\nPara a seção retangular de largura
e altura
, o momento de inércia em torno do eixo neutro (eixo horizontal que passa pelo centro) é: \n
Explicando: isso vem da definição
; para um retângulo simétrico dá essa fórmula padrão. \n\nA tensão máxima por flexão ocorre em
(nas fibras mais afastadas do eixo neutro). Logo substituindo
obtemos a máxima magnitude da tensão normal por flexão:
Passo 3
Aplicando os valores de
e
para obter
em função dos parâmetros da seção. \n\nSubstituindo
e
em
temos:
Agora simplificamos passo a passo: \n
Portanto, a expressão geral (para qualquer seção reta onde o momento fletor seja
) é:
Observação prática: se o carregamento faz com que o momento máximo na seção seja exatamente
, então basta substituir
.
Passo 4
Aula rápida sobre tensão de cisalhamento transversal (devido à força cortante
). \n\nA fórmula geral para a tensão de cisalhamento média numa seção é
, onde: \n-
é a força cortante interna na seção. \n-
é o primeiro momento da área da parte da seção acima (ou abaixo) do nível onde se calcula
. \n-
é o momento de inércia da seção inteira (já usado antes). \n-
é a largura efetiva da seção no plano onde se calcula
(para retângulo
em toda a altura). \n\nPara seção retangular queremos a tensão máxima de cisalhamento, que ocorre no eixo neutro (
). Calculemos
para a metade superior da seção (área acima do eixo neutro): \n- área da metade superior:
. \n- distância do eixo neutro ao centróide dessa área:
. \nEntão
Passo 5
Agora aplicamos
com
,
e
. \n\nEscrevendo:
Simplificando: primeiro note que o fator
no numerador cancela parte dos
do denominador, e
. Faremos a simplificação com calma:
Portanto:
Esta é a expressão clássica: a tensão de cisalhamento máxima no centro de uma seção retangular é
vezes a tensão média
.
Passo 6
Relacionando
e
: interpretação prática útil para provas. \n\nUma interpretação muito comum (e que usa
e
simultaneamente) é a de uma viga em balanço (cantilever) de comprimento
com uma carga concentrada
na extremidade livre. Nesse caso o momento fletor na raiz (na seção encravada) é:
A força cortante na raiz é
. Assim podemos eliminar
em favor de
e
com
. Substituímos nas expressões anteriores para obter as tensões máximas em função apenas de
.
Passo 7
Aplicando as relações ao Caso A (momento puro) e ao Caso B (cantilever com carga
tal que
): \n\nCaso A — momento puro
(não há força cortante): \n- tensão normal máxima por flexão:
- tensão de cisalhamento máxima:
Caso B — cantilever com carga pontual
na ponta e
: \n- momento máximo na raiz
, logo a tensão normal máxima na raiz é
(Observação: esta expressão não depende de
porque
já contém a contribuição de
.) \n- força cortante na raiz
, então a tensão de cisalhamento máxima é
Resposta
Caso A (momento puro
):
\n
\n\nCaso B (cantilever com carga
na ponta tal que
):
\n