Para a viga de seção transversal ( b \times h )
indicada, expresse relações em função de b , h, M_{0} e L, para as tensões máximas resultantes do carregamento indicado.

Passo 1

O enunciado pede: “Para a viga de seção transversal (b\times h) indicada, expresse relações em função de b, h, M_{0} e L para as tensões máximas resultantes do carregamento indicado.” \n\nInformações explícitas que o enunciado fornece: \n- seção retangular com largura (b) e altura (h). \n- parâmetros (M_{0}) e (L) aparecem no enunciado. \n\nProblema prático: a figura (que mostra o tipo de carregamento e a posição de M_{0} e como L entra) não foi enviada. Sem essa figura não é possível saber unicamente quais elementos internos aparecem (momento fletor M(x), força cortante V(x), força axial N) e como M_{0} e L se relacionam com essas forças. \n\nDecisão adotada (sem te perguntar nada, como você pediu): vou apresentar (1) as fórmulas gerais para as tensões máximas numa seção retangular (tensão normal por flexão e tensão de cisalhamento transversal), com dedução passo a passo; (2) duas interpretações práticas comuns que ligam M_{0} e L ao carregamento e que permitem escrever as tensões finais em termos de b,h,M_{0},L: \n- Caso A: momento puro aplicado (M=M_{0}) (sem força cortante). \n- Caso B: viga em balanço (cantilever) com carga concentrada P na ponta tal que M_{0}=P\,L (caso clássico em provas). \n\nSe a sua figura for diferente, me diga depois, mas com base nessas duas interpretações você já terá as relações que normalmente a questão quer.

Passo 2

Aula rápida sobre tensão normal por flexão (flexão simples) — conceito e fórmula básica. \n\nQuando uma seção sofre um momento fletor interno M (positivo segundo convenção), aparece uma distribuição de tensões normais \sigma ao longo da altura da seção dada pela fórmula da flexão simples: \n \sigma(x,y)= -\frac{M\,y}{I}
onde: \n- \sigma é a tensão normal (positivo tração ou compressão conforme convenção; aqui usamos a forma genérica). \n- M é o momento fletor interno na seção considerada. \n- y é a coordenada vertical medida a partir do eixo neutro (no centro da seção retangular y=0; y positivo para cima). \n- I é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em torno do eixo neutro. \n\nPara a seção retangular de largura b e altura h, o momento de inércia em torno do eixo neutro (eixo horizontal que passa pelo centro) é: \n I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Explicando: isso vem da definição I=\int y^{2} dA; para um retângulo simétrico dá essa fórmula padrão. \n\nA tensão máxima por flexão ocorre em |y|=h/2 (nas fibras mais afastadas do eixo neutro). Logo substituindo y_{\max}=h/2 obtemos a máxima magnitude da tensão normal por flexão:
\sigma_{\max}=\frac{M\,(h/2)}{I}.

Passo 3

Aplicando os valores de I e y_{\max} para obter \sigma_{\max} em função dos parâmetros da seção. \n\nSubstituindo \displaystyle I=\frac{b h^{3}}{12} e \displaystyle y_{\max}=\frac{h}{2} em \displaystyle \sigma_{\max}=\frac{M (h/2)}{I} temos:
\sigma_{\max}=\frac{M \cdot \dfrac{h}{2}}{\dfrac{b h^{3}}{12}}.
Agora simplificamos passo a passo: \n \sigma_{\max}=M\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{12}{b h^{3}}.
\sigma_{\max}=M\cdot\frac{12}{2}\cdot\frac{1}{b h^{2}}.
\sigma_{\max}=M\cdot\frac{6}{b h^{2}}.
Portanto, a expressão geral (para qualquer seção reta onde o momento fletor seja M) é:
\sigma_{\max}=\frac{6\,M}{b\,h^{2}}.
Observação prática: se o carregamento faz com que o momento máximo na seção seja exatamente M_{0}, então basta substituir M=M_{0}.

Passo 4

Aula rápida sobre tensão de cisalhamento transversal (devido à força cortante V). \n\nA fórmula geral para a tensão de cisalhamento média numa seção é \tau=\dfrac{V\,Q}{I\,t}, onde: \n- V é a força cortante interna na seção. \n- Q é o primeiro momento da área da parte da seção acima (ou abaixo) do nível onde se calcula \tau. \n- I é o momento de inércia da seção inteira (já usado antes). \n- t é a largura efetiva da seção no plano onde se calcula \tau (para retângulo t=b em toda a altura). \n\nPara seção retangular queremos a tensão máxima de cisalhamento, que ocorre no eixo neutro ( y=0). Calculemos Q para a metade superior da seção (área acima do eixo neutro): \n- área da metade superior: \displaystyle A_{\text{top}}=b\cdot\frac{h}{2}. \n- distância do eixo neutro ao centróide dessa área: \displaystyle \bar{y}=\frac{h}{4}. \nEntão Q=A_{\text{top}}\cdot\bar{y}=b\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{h}{4}=\frac{b h^{2}}{8}.

Passo 5

Agora aplicamos \tau_{\max}=\dfrac{V Q}{I t} com Q=\dfrac{b h^{2}}{8}, I=\dfrac{b h^{3}}{12} e t=b. \n\nEscrevendo:
\tau_{\max}=\frac{V\cdot \dfrac{b h^{2}}{8}}{\dfrac{b h^{3}}{12}\cdot b}.
Simplificando: primeiro note que o fator b no numerador cancela parte dos b^{2} do denominador, e h^{2}/h^{3}=1/h. Faremos a simplificação com calma:
\tau_{\max}=V\cdot\frac{b h^{2}}{8}\cdot\frac{12}{b^{2} h^{3}}.
\tau_{\max}=V\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{1}{b h}.
\tau_{\max}=V\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{b h}.
Portanto:
\tau_{\max}=\frac{3\,V}{2\,b\,h}.
Esta é a expressão clássica: a tensão de cisalhamento máxima no centro de uma seção retangular é 1{,}5 vezes a tensão média V/(b h).

Passo 6

Relacionando M_{0} e L: interpretação prática útil para provas. \n\nUma interpretação muito comum (e que usa M_{0} e L simultaneamente) é a de uma viga em balanço (cantilever) de comprimento L com uma carga concentrada P na extremidade livre. Nesse caso o momento fletor na raiz (na seção encravada) é:
M_{0}=P\,L.
A força cortante na raiz é V=P. Assim podemos eliminar P em favor de M_{0} e L com P=M_{0}/L. Substituímos nas expressões anteriores para obter as tensões máximas em função apenas de b,h,M_{0},L.

Passo 7

Aplicando as relações ao Caso A (momento puro) e ao Caso B (cantilever com carga P tal que M_{0}=P L): \n\nCaso A — momento puro M=M_{0} (não há força cortante): \n- tensão normal máxima por flexão:
\sigma_{\max}=\frac{6\,M_{0}}{b\,h^{2}}.
  • tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=0 \quad\text{(nenhuma força cortante se for momento puro).}ç
Caso B — cantilever com carga pontual P na ponta e M_{0}=P L: \n- momento máximo na raiz M=M_{0}, logo a tensão normal máxima na raiz é
\sigma_{\max}=\frac{6\,M_{0}}{b\,h^{2}}.
(Observação: esta expressão não depende de L porque M_{0} já contém a contribuição de L.) \n- força cortante na raiz V=P=\dfrac{M_{0}}{L}, então a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\cdot\frac{V}{b h}=\frac{3}{2}\cdot\frac{M_{0}/L}{b h}=\frac{3\,M_{0}}{2\,b\,h\,L}.

Resposta

Caso A (momento puro M=M_{0}): \sigma_{\max}=\dfrac{6\,M_{0}}{b\,h^{2}} \n \tau_{\max}=0 \n\nCaso B (cantilever com carga P na ponta tal que M_{0}=P\,L): \sigma_{\max}=\dfrac{6\,M_{0}}{b\,h^{2}} \n \tau_{\max}=\dfrac{3\,M_{0}}{2\,b\,h\,L}

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