O tubo de aço de comprimento de 3,6 \mathrm{~m} e massa de 300 kg é suspenso por um cabo do guindaste C D. Determine a tração no cabo da linga A C B, sabendo que o comprimento da linga é 6 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Dados que o enunciado fornece:
    • comprimento do tubo: \,3,6\\ \mathrm{m};
    • massa do tubo: \,300\\ \mathrm{kg};
    • o tubo é suspenso por um cabo do guindaste chamado C D;
    • existe uma linga com pontos A, C e B e o enunciado diz que o comprimento da linga é \,6\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede:
    • determinar a tração no cabo da linga A C B (ou seja, a tração nos ramos da linga que sustentam o tubo).
Observação: o enunciado refere-se a pontos A, B e C e dá um comprimento da linga, mas não traz a figura nem deixa claro a geometria (onde C está em relação a A e B, se a linga tem dois ramos iguais, se os 6\\ \mathrm{m} são de cada ramo ou do conjunto, etc.). Estas informações geométricas são importantes para determinar a tração numérica única.

Passo 2

Por que com os dados dados NÃO dá para obter um único valor numérico:
  • Para encontrar a tração precisamos saber as direções das forças da linga em A e B (os ângulos que os ramos fazem com a vertical ou com a horizontal). Esses ângulos dependem da posição do ponto C em relação ao tubo e do comprimento efetivo de cada ramo.
  • O enunciado não deixa claro se os \,6\\ \mathrm{m} referem-se a cada ramo A C e C B (ou seja, A C=6\\ \mathrm{m} e C B=6\\ \mathrm{m}), ou se \,6\\ \mathrm{m} é o comprimento total da linga (o que mudaria totalmente a geometria). Também não diz se C está exatamente sobre o ponto médio do tubo (simetria).
  • Sem a figura ou essa informação geométrica não existe um único valor da tração — a solução é indeterminada.

Passo 3

Método geral (a ideia física e as equações que usamos) — explico passo a passo como proceder na prova:
  • Modelo físico: o tubo é um corpo rígido em equilíbrio. Sobre ele atua o peso para baixo \,W=mg aplicado no centro de gravidade (supondo tubo homogêneo, no meio do comprimento) e as tensões nas duas ligações A e B (vetores direcionados ao longo dos ramos A C e B C).
  • Equilíbrio estático (somatório de forças = 0):
    • somatório das componentes verticais: \,T_A\cos\varphi_A + T_B\cos\varphi_B = W,
    • somatório das componentes horizontais: \,T_A\sin\varphi_A = T_B\sin\varphi_B,
      onde:
      • \,T_A e \,T_B são as magnitudes das trações nos ramos A C e B C;
      • \,\varphi_A e \,\varphi_B são os ângulos que esses ramos fazem com a vertical (usei a vertical para que as componentes verticais sejam \cos — é uma convenção prática).
  • Se o sistema for simétrico (ponto C sobre o ponto médio do tubo, e \,A C = C B) então \,T_A = T_B = T e \varphi_A=\varphi_B=\varphi. Nesse caso as equações reduzem-se a: 2T\cos\varphi = W \quad\Rightarrow\quad T = \dfrac{W}{2\cos\varphi}.
  • Conclusão: para obter T numericamente preciso conhecer \varphi, que é obtido pela geometria (comprimento do ramo e distância horizontal entre A e C).

Passo 4

Uma hipótese prática comum (que muitos exercícios usam) e que eu vou adotar aqui para calcular um valor numérico ilustrativo: assumimos a configuração simétrica mais provável quando não há figura:
  • os pontos A e B são as extremidades do tubo de comprimento \,3,6\\ \mathrm{m};
  • o ponto C está sobre o ponto médio do tubo (sistema simétrico);
  • os ramos têm comprimento \,A C = C B = 6\\ \mathrm{m} (ou seja, os \,6\\ \mathrm{m} referem-se a cada ramo).
    Essa hipótese permite calcular o ângulo \varphi a partir da geometria do triângulo retângulo formado por meio-tubo, a altura vertical até C e o ramo.
  • A metade da distância entre A e B é \dfrac{3,6}{2} = 1,8\\ \mathrm{m}. Este é o cateto horizontal do triângulo retângulo.
  • O comprimento do ramo é a hipotenusa: 6\\ \mathrm{m}.
  • A componente vertical (altura) h é
    h=\sqrt{6^{2}-1{,}8^{2}}.
    Faço as contas passo a passo:
    6^{2}=36,\qquad 1{,}8^{2}=3{,}24,
h=\sqrt{36-3{,}24}=\sqrt{32{,}76}\approx 5{,}7256\\ \mathrm{m}.
  • O cosseno do ângulo \varphi (ângulo entre ramo e vertical) é a razão vertical/hipotenusa: \cos\varphi=\dfrac{h}{6}=\dfrac{5{,}7256}{6}\approx 0{,}95427.

Passo 5

Calcular o peso do tubo:
  • usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão),
  • o peso é \,W=mg: W = 300\cdot 9{,}81 = 2943\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a tração em cada ramo no caso simétrico:
  • pela equação do equilíbrio vertical em caso simétrico: T = \dfrac{W}{2\cos\varphi}.
  • Substituindo W e \cos\varphi: T \approx \dfrac{2943}{2\cdot 0{,}95427} = \dfrac{2943}{1{,}90854}\approx 1542{,}6\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando, \,T\approx 1543\\ \mathrm{N} por ramo (cada ramo A C e C B), sob a hipótese simétrica adotada.

Passo 7

Observações finais (o que muda se a hipótese for outra):
  • Se os \,6\\ \mathrm{m}\) fossem o comprimento total da linga (por exemplo \(A\)–\(C\)–\(B\) ao longo de uma única corda), ou se \(C\) não estivesse sobre o ponto médio do tubo, então os ângulos \(\varphi_A\) e \(\varphi_B\) são diferentes e as duas trações são diferentes. Nesse caso resolve-se o sistema: \[\begin{cases} T_A\cos\varphi_A + T_B\cos\varphi_B = W,\\[4pt] T_A\sin\varphi_A = T_B\sin\varphi_B \end{cases}e encontra-se T_A\] e \(T_B. Para isso é imprescindível conhecer geometricamente as distâncias que definem \varphi_A e \varphi_B.
  • Resumindo: sem a figura ou sem especificar a geometria não há um único valor certo; eu calculei o valor numérico típico para a hipótese simétrica descrita acima.]

Resposta

Não é possível obter um valor único sem a figura ou sem a informação da geometria (posição de C relativa a A e B e se os 6\\ \mathrm{m} são de cada ramo).\n
Assumindo a configuração simétrica com A C = C B = 6\\ \mathrm{m} e A B = 3{,}6\\ \mathrm{m} (ou seja, C sobre o ponto médio), a tração em cada ramo é T\approx 1543\\ \mathrm{N}.

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