O tubo de aço de comprimento de 3,6 \mathrm{~m} e massa de 300 kg é suspenso por um cabo do guindaste C D. Determine a tração no cabo da linga A C B, sabendo que o comprimento da linga é 4,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações: \n
  • Um tubo de comprimento 3{,}6\\ \mathrm{m} e massa 300\\ \mathrm{kg}. \n
  • O tubo é suspenso por uma linga com pontos A e B presos nas extremidades do tubo e com a argola C acima do meio; o comprimento total da linga A C B é 4{,}5\\ \mathrm{m}. \n
    Pedido: \n
  • Determinar a tração no cabo da linga A C B (ou seja, a intensidade da força em cada ramo A C e B C). \n
    Observações extraídas do enunciado (que vamos usar): \n
  • Como a linga é simétrica e os pontos A e B estão nas extremidades do tubo, as duas tensões são iguais. \n
  • O peso do tubo atua no seu centro (ponto médio), logo a configuração é simétrica em relação ao ponto C.

Passo 2

Idealização geométrica e cálculo das dimensões necessárias. \n
  • Como a linga total A C B tem comprimento 4{,}5\\ \mathrm{m} e é simétrica, cada ramo tem comprimento \;A C = C B = \dfrac{4{,}5}{2}=2{,}25\\ \mathrm{m}. \n
  • As extremidades A e B estão nas extremidades do tubo; portanto a distância horizontal entre A e B é o comprimento do tubo: 3{,}6\\ \mathrm{m}. Metade dessa distância (do meio do tubo até A ou B) é \dfrac{3{,}6}{2}=1{,}8\\ \mathrm{m}. \n
  • Para achar a altura vertical h da argola C em relação à linha do tubo, usamos o triângulo retângulo formado por metade do tubo (base 1{,}8\\ \mathrm{m}), a altura h e o ramo da linga (hipotenusa 2{,}25\\ \mathrm{m}). Aplicando o teorema de Pitágoras: h=\sqrt{(2{,}25)^2-(1{,}8)^2}.
Calculemos passo a passo: (2{,}25)^2=5{,}0625,\qquad (1{,}8)^2=3{,}24,
5{,}0625-3{,}24=1{,}8225,\qquad h=\sqrt{1{,}8225}=1{,}35\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo do peso do tubo (força gravitacional). \n
  • Massa do tubo: 300\\ \mathrm{kg}. Usamos a aproximação da aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \n
  • O peso é W = m g. Logo: W = 300 \times 9{,}81 = 2943\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Equilíbrio de forças verticais e horizontais — decomposição da tração. \n
  • Considere a tração em cada ramo igual a T (simetria). Cada ramo está inclinado: verticalmente ele sobe h=1{,}35\\ \mathrm{m} e a hipotenusa é 2{,}25\\ \mathrm{m}. \n
  • O componente vertical da tração em um ramo é dado pela razão entre a componente vertical e a hipotenusa multiplicada por T. Assim o componente vertical de um ramo é T_v = T\cdot\frac{h}{\text{hipotenusa}} = T\cdot\frac{1{,}35}{2{,}25}.
Calcule a fração: \frac{1{,}35}{2{,}25}=0{,}6.
Portanto T_v = 0{,}6\,T. \n
  • As componentes horizontais dos dois ramos se cancelam por simetria (uma puxa para a esquerda, a outra para a direita), então a condição de equilíbrio vertical exige que a soma das componentes verticais para cima iguale o peso para baixo: 2T_v = W.
Substituindo T_v=0{,}6T: 2\cdot(0{,}6T)=W \quad\Rightarrow\quad 1{,}2\,T = W.
  • Isolando T: T=\dfrac{W}{1{,}2}=\dfrac{2943}{1{,}2}.
Calculemos: T=2452{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Verificação rápida e interpretação física. \n
  • Verificação: componentes verticais somadas 2\cdot(0{,}6\cdot2452{,}5)=2\cdot1471{,}5=2943\\ \mathrm{N}, que é exatamente o peso — portanto está consistente. \n
  • Conclusão física: cada ramo da linga (tanto A C quanto B C) sustenta uma tração de 2452{,}5\\ \mathrm{N}, aproximadamente 2{,}45\\ \mathrm{kN}. \n
  • Dica para prova: identifique sempre simetrias, coloque o peso no centro, decomponha a tração em componentes vertical e horizontal; se as forças são simétricas, basta usar metade da geometria para achar o ângulo ou a razão de componentes.

Resposta

T=2452{,}5\\ \mathrm{N} \approx 2{,}45\\ \mathrm{kN}

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