4.50 Um cilindro está pressarizado internamente com uma pressăo de 100 MPa. Esta pressio provoca tensies tangencial e axial na superficie exterma que valem 400 e 200 MPa , respectivamente. Construa o círculo de Mohr representativo dessas tensöes atuantes na superfícic externa. Qual é o valor da tensăo cisalhante máxima atuante na superfície externa?
[Resp: 200 MPa ]

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):\n
  • O cilindro está pressurizado internamente com pressão \;100\\ \text{MPa}.\n
  • Na superfície externa atuam tensões normais: tensão tangencial (circunferencial) \;\sigma_\theta = 400\\ \text{MPa} e tensão axial \;\sigma_z = 200\\ \text{MPa}.\n
  • A superfície externa é livre (não comprimida externamente), portanto a tensão radial nessa superfície é \;\sigma_r = 0\\ \text{MPa}.\n
  • O que se pede: construir o círculo de Mohr representativo das tensões atuantes na superfície externa e encontrar o valor da tensão cisalhante máxima atuante na superfície externa.\n
    Observação: listei todas as tensões disponíveis ( \sigma_\theta, \sigma_z, \sigma_r) e o pedido (círculo de Mohr e \tau_{\max}). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Entendendo as superfícies e as tensões que precisamos usar (explicação didática):\n
  • Na superfície externa temos três direções mutuamente ortogonais naturais: radial ( r), tangencial/circunferencial ( \theta) e axial ( z).\n
  • As tensões dadas são normais nessas direções: \sigma_\theta = 400\\ \text{MPa}, \sigma_z = 200\\ \text{MPa} e, por ser superfície livre, \sigma_r = 0\\ \text{MPa}.\n
  • Importante: quando numa face não há esforço cortante (ou quando queremos os valores principais já fornecidos), os valores \sigma_r,\sigma_\theta,\sigma_z podem ser tratados como tensões principais. Aqui as componentes de cisalhamento nas direções principais são zero nessa configuração, então podemos usar diretamente esses três valores como tensões principais.\n
    Breve lição sobre o que é o círculo de Mohr (na prática):\n
  • O círculo de Mohr é uma forma geométrica (no plano tensão normal vs. tensão de cisalhamento) que representa todas as combinações possíveis de tensão normal e cisalhamento em planos de diferentes orientações. Para um estado triaxial com três tensões principais \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3, existem três círculos de Mohr formados pelos pares (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_2,\sigma_3) e (\sigma_1,\sigma_3).\n
  • Fórmulas úteis (para um par \sigma_i,\sigma_j): centro do círculo: \displaystyle C=\frac{\sigma_i+\sigma_j}{2}. Raio do círculo: \displaystyle R=\frac{|\sigma_i-\sigma_j|}{2}. O valor máximo de tensão de cisalhamento para todo o estado é o maior desses raios, que também é \displaystyle \tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}.

Passo 3

Organizar as tensões em ordem e identificar pares para os círculos de Mohr:\n
  • Vamos ordenar as tensões principais: \sigma_1 = 400\\ \text{MPa}, \sigma_2 = 200\\ \text{MPa}, \sigma_3 = 0\\ \text{MPa}.\n
  • Formaremos os três pares e calcularemos centros e raios usando as fórmulas do passo anterior.

Passo 4

Cálculo do círculo entre \sigma_1 e \sigma_2 ( \sigma_1=400,\\ \sigma_2=200):\n
  • Centro:\n
C_{12}=\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}=\frac{400+200}{2}=300\\ \text{MPa}.\n
  • Raio:\n
R_{12}=\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2}=\frac{|400-200|}{2}=\frac{200}{2}=100\\ \text{MPa}.\n
  • Esse círculo tem eixo horizontal centrado em \sigma=300\\ \text{MPa} e atinge \sigma=200 e \sigma=400 nas extremidades (sem cisalhamento nessas extremidades).

Passo 5

Cálculo do círculo entre \sigma_2 e \sigma_3 ( \sigma_2=200,\\ \sigma_3=0):\n
  • Centro:\n
C_{23}=\frac{\sigma_2+\sigma_3}{2}=\frac{200+0}{2}=100\\ \text{MPa}.\n
  • Raio:\n
R_{23}=\frac{|\sigma_2-\sigma_3|}{2}=\frac{|200-0|}{2}=\frac{200}{2}=100\\ \text{MPa}.\n
  • Esse círculo é centrado em \sigma=100\\ \text{MPa} e vai de \sigma=0 a \sigma=200.

Passo 6

Cálculo do círculo entre \sigma_1 e \sigma_3 ( \sigma_1=400,\\ \sigma_3=0) — este é o maior:\n
  • Centro:\n
C_{13}=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}=\frac{400+0}{2}=200\\ \text{MPa}.\n
  • Raio:\n
R_{13}=\frac{|\sigma_1-\sigma_3|}{2}=\frac{|400-0|}{2}=\frac{400}{2}=200\\ \text{MPa}.\n
  • Esse círculo é centrado em \sigma=200\\ \text{MPa} e alcança as extremidades \sigma=0 e \sigma=400. É o maior dos três círculos de Mohr para esse estado de tensão.

Passo 7

Interpretação geométrica e conclusão sobre a tensão cisalhante máxima:\n
  • Como visto, os três círculos têm raios R_{12}=100\\ \text{MPa}, R_{23}=100\\ \text{MPa} e R_{13}=200\\ \text{MPa}.\n
  • O maior raio corresponde à maior tensão de cisalhamento possível no material. Logo,\n
\tau_{\max}=R_{13}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}=\frac{400-0}{2}=200\\ \text{MPa}.\n
  • Comentário intuitivo: se você apenas considerasse o plano tangencial-axial (ignorando a tensão radial), obteria um círculo com raio 100\\ \text{MPa}. Mas como a superfície externa é livre no sentido radial ( \sigma_r=0), o contraste entre \sigma_\theta=400\\ \text{MPa} e \sigma_r=0 gera a maior componente de cisalhamento, \;200\\ \text{MPa}.

Resposta

\;200\\ \text{MPa}

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