4.51 Determine a tensilo cisalhante máxima na superficie externa de um cilindro pressurizado internamente onde a pressio interna gera as tensöes tangencial e axial, nesta superfície, de 300 e 150 MPa , respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensilo cisalhante máxima na superfície externa de um cilindro pressurizado internamente.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A tensão tangencial (circunferencial ou hoop) na superfície externa é \sigma_\theta = 300\\ \text{MPa}.
  • A tensão axial na superfície externa é \sigma_z = 150\\ \text{MPa}.
    Observação importante que eu uso aqui (e que é padrão em problemas de casca cilíndrica): na superfície externa livre a tensão radial é nula, isto é \sigma_r = 0\\ \text{MPa}.
    Portanto a pergunta é: qual é o valor da tensão de cisalhamento máxima, dado \sigma_\theta=300\\ \text{MPa}, \sigma_z=150\\ \text{MPa} e \sigma_r=0\\ \text{MPa}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Em tensões tridimensionais temos três tensões principais (em direções mutuamente ortogonais). Aqui as direções naturais são tangencial, axial e radial, com tensões \sigma_\theta,\sigma_z,\sigma_r.
  • A tensão de cisalhamento máxima absoluta num estado de tensões tridimensional é dada pela metade da diferença entre a maior e a menor tensão principal. Em forma matemática:
\tau_{\max}=\frac{1}{2}\bigl(\sigma_{\max}-\sigma_{\min}\bigr).
Explicação didática curta: imagine o círculo de Mohr — os pares de tensões principais geram círculos cujo maior raio (maior cisalhamento) corresponde à metade da diferença entre a maior e a menor tensão principal. Isso significa que, se você conhece os três valores \sigma, basta achar o maior e o menor e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Identificar as tensões principais e ordenar do maior para o menor. Dos dados temos:
\sigma_\theta=300\\ \text{MPa}, \sigma_z=150\\ \text{MPa}, \sigma_r=0\\ \text{MPa}.
Ordenando:
\sigma_{\max}=\sigma_\theta=300\\ \text{MPa},\qquad \sigma_{\min}=\sigma_r=0\\ \text{MPa}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento máxima. Usando
\tau_{\max}=\frac{1}{2}\bigl(\sigma_{\max}-\sigma_{\min}\bigr)
substituímos os valores:
\tau_{\max}=\frac{1}{2}\bigl(300-0\bigr)\\ \text{MPa}=\frac{300}{2}\\ \text{MPa}=150\\ \text{MPa}.

Passo 5

Verificação adicional (para aprendizado): calcular as outras possíveis tensões de cisalhamento entre pares de tensões principais para ver que nenhuma supera 150 MPa:
  • Entre \sigma_\theta e \sigma_z: \dfrac{1}{2}(300-150)=75\\ \text{MPa}.
  • Entre \sigma_z e \sigma_r: \dfrac{1}{2}(150-0)=75\\ \text{MPa}.
    Logo realmente o maior valor é 150\\ \text{MPa}, correspondente ao par \sigma_\theta e \sigma_r.

Resposta

150 MPa

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