Questão 6. Um anel liso de 2 kg encaixa-se folgadamente na barra vertical. A mola não está deformada quando o anel está na posição
.
Determine a velocidade (
) com a qual o anel está se deslocando quando
, se ele é solto em A com velocidade
para cima.
Determine a velocidade (
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados da figura):\n
- Massa do anel:
.\n - Constante da mola (da mola horizontal ligada à parede):
(indicado na figura).\n - Distância horizontal entre a barra e a parede (comprimento da mola quando o anel está em A):
(retirei esse valor da figura).\n - A mola não está deformada quando o anel está na posição
(ou seja, comprimento natural inicial ).\n - O anel é solto em
com velocidade inicial para cima .\n - Pergunta: determinar a velocidade do anel quando
. Pela figura o deslocamento está medido para baixo a partir de ; portanto significa que o anel está 1 m abaixo de .\n
Passo 2
Princípio físico e definições úteis (aula rápida):\n
Usamos a conservação da energia mecânica (sem atrito): a energia mecânica inicial (energia cinética + potenciais) é igual à energia mecânica final. Vamos definir as formas de energia que aparecem:\n
Usamos a conservação da energia mecânica (sem atrito): a energia mecânica inicial (energia cinética + potenciais) é igual à energia mecânica final. Vamos definir as formas de energia que aparecem:\n
- Energia cinética:
, onde é a massa e a velocidade.\n - Energia potencial gravitacional: tomamos a posição
como referência . Se o anel desce uma distância (para baixo), sua energia potencial altera-se em . Aqui é a aceleração da gravidade ( ).\n - Energia potencial elástica da mola:
, onde é a deformação (extensão) da mola em relação ao comprimento natural .\n
Explicação geométrica: quando o anel desce, a mola que está fixada na parede e ligada ao anel fica inclinada; o novo comprimento da mola é a hipotenusa da direita: . A deformação é . Isso vem direto do Teorema de Pitágoras.
Passo 3
Escrevendo a conservação da energia (com escolhas de referências dadas):\n
Energia inicial em :
(KE inicial +
+
pois mola não deformada em
).\n
Energia quando o anel está em (1 m abaixo):
.\n
Igualando :\n
Energia inicial em
Energia quando o anel está em
Igualando
Rearranjando para achar
:\n
Passo 4
Calcular a deformação da mola
para
:\n
- Comprimento inicial (em
): .\n - Novo comprimento quando o anel está
abaixo: \n
Com:\n
Logo a deformação é\n
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos na equação de energia e resolvemos para
:\n
Dados: ,
,
,
,
,
.\n
Calcule termos:\n
\n
\n
\n
Agora,\n
Dados:
Calcule termos:\n
Agora,\n
Como
, temos
. Portanto\n
Passo 6
Interpretação final e sinal:\n
- O módulo da velocidade é
.\n - Como consideramos
abaixo de , o anel está se deslocando para baixo nesse instante; logo a velocidade tem direção para baixo (o número acima é o valor escalar da velocidade). Boa notícia: a conta fechou direitinho porque a energia gravitacional liberada dominou a pequena energia que foi para deformar a mola.\n
Força para a prova: sempre escreva a equação de conservação de energia, escolha uma referência clara para, calcule geometricamente a deformação da mola se a mola muda de orientação, e cheque unidades e sinais.