Questão 6. Um anel liso de 2 kg encaixa-se folgadamente na barra vertical. A mola não está deformada quando o anel está na posição A.
Determine a velocidade ( v_{\text {anel_b }} ) com a qual o anel está se deslocando quando y=1 m, se ele é solto em A com velocidade v_{A}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para cima.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados da figura):\n
  • Massa do anel: m=2\\ \mathrm{kg}.\n
  • Constante da mola (da mola horizontal ligada à parede): k=3\\ \mathrm{N/m} (indicado na figura).\n
  • Distância horizontal entre a barra e a parede (comprimento da mola quando o anel está em A): 0{,}75\\ \mathrm{m} (retirei esse valor da figura).\n
  • A mola não está deformada quando o anel está na posição A (ou seja, comprimento natural inicial L_0=0{,}75\\ \mathrm{m}).\n
  • O anel é solto em A com velocidade inicial para cima v_A=2\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Pergunta: determinar a velocidade do anel quando y=1\\ \mathrm{m}. Pela figura o deslocamento y está medido para baixo a partir de A; portanto y=1\\ \mathrm{m} significa que o anel está 1 m abaixo de A.\n

Passo 2

Princípio físico e definições úteis (aula rápida):\n
Usamos a conservação da energia mecânica (sem atrito): a energia mecânica inicial (energia cinética + potenciais) é igual à energia mecânica final. Vamos definir as formas de energia que aparecem:\n
  • Energia cinética: \displaystyle E_\text{c}=\tfrac{1}{2} m v^2, onde m é a massa e v a velocidade.\n
  • Energia potencial gravitacional: tomamos a posição A como referência U_g(A)=0. Se o anel desce uma distância y (para baixo), sua energia potencial altera-se em \Delta U_g = -m g y. Aqui g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).\n
  • Energia potencial elástica da mola: \displaystyle U_s=\tfrac{1}{2} k (\Delta x)^2, onde \Delta x é a deformação (extensão) da mola em relação ao comprimento natural L_0.\n
    Explicação geométrica: quando o anel desce y, a mola que está fixada na parede e ligada ao anel fica inclinada; o novo comprimento da mola é a hipotenusa da direita: L=\sqrt{(0{,}75)^2 + y^2}. A deformação é \Delta x = L-L_0. Isso vem direto do Teorema de Pitágoras.

Passo 3

Escrevendo a conservação da energia (com escolhas de referências dadas):\n
Energia inicial em A: \displaystyle E_{i}=\tfrac{1}{2}m v_A^2 + 0 + 0 (KE inicial + U_g=0 + U_s=0 pois mola não deformada em A).\n
Energia quando o anel está em y (1 m abaixo): \displaystyle E_{f}=\tfrac{1}{2}m v^2 + U_s(y) + U_g(y).\n
Igualando E_i=E_f:\n
\tfrac{1}{2}m v_A^2 \;=\; \tfrac{1}{2}m v^2 + \tfrac{1}{2}k(\Delta x)^2 \;+\; (-m g y).\n
Rearranjando para achar v^2:\n
\tfrac{1}{2}m v^2 \;=\; \tfrac{1}{2}m v_A^2 \;+\; m g y \;-\; \tfrac{1}{2}k(\Delta x)^2.

Passo 4

Calcular a deformação da mola \Delta x para y=1\\ \mathrm{m}:\n
  • Comprimento inicial (em A): L_0=0{,}75\\ \mathrm{m}.\n
  • Novo comprimento quando o anel está y abaixo: \displaystyle L=\sqrt{(0{,}75)^2 + y^2}.\n
    Com y=1{,}0\\ \mathrm{m}:\n
L=\sqrt{0{,}75^2 + 1^2}=\sqrt{0{,}5625 + 1}=\sqrt{1{,}5625}=1{,}25\\ \mathrm{m}.\n
Logo a deformação é\n
\Delta x = L - L_0 = 1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}50\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos na equação de energia e resolvemos para v:\n
Dados: m=2\\ \mathrm{kg}, v_A=2\\ \mathrm{m/s}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, k=3\\ \mathrm{N/m}, \Delta x=0{,}50\\ \mathrm{m}, y=1\\ \mathrm{m}.\n
Calcule termos:\n
\displaystyle \tfrac{1}{2}m v_A^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot (2)^2 = 4{,}0\\ \mathrm{J}.\n
\displaystyle m g y = 2\cdot 9{,}81\cdot 1 = 19{,}62\\ \mathrm{J}.\n
\displaystyle \tfrac{1}{2}k(\Delta x)^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot (0{,}5)^2 = 0{,}375\\ \mathrm{J}.\n
Agora,\n
\tfrac{1}{2}m v^2 = 4{,}0 + 19{,}62 - 0{,}375 = 23{,}245\\ \mathrm{J}.\n
Como \tfrac{1}{2}m = \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1, temos v^2 = 23{,}245. Portanto\n
v = \sqrt{23{,}245}\approx 4{,}82\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação final e sinal:\n
  • O módulo da velocidade é \approx 4{,}82\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Como consideramos y=1\\ \mathrm{m} abaixo de A, o anel está se deslocando para baixo nesse instante; logo a velocidade tem direção para baixo (o número acima é o valor escalar da velocidade). Boa notícia: a conta fechou direitinho porque a energia gravitacional liberada dominou a pequena energia que foi para deformar a mola.\n
    Força para a prova: sempre escreva a equação de conservação de energia, escolha uma referência clara para U_g, calcule geometricamente a deformação da mola se a mola muda de orientação, e cheque unidades e sinais.

Resposta

v_{\text{anel}} = 4{,}82\\ \mathrm{m/s} (para baixo)

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