6.50 Um circuito armazenador de energia e tormado por indutores conectados em série de 16 mH e 14 mH associados em paralelo com indutores conectados em série de 24 mH e 36 mH . Calcule a indutância equivalente.

Passo 1

O enunciado dá um circuito formado por dois ramos em paralelo. Cada ramo é composto por indutores em série. As informações numéricas são (peguei os valores do enunciado):
  • Ramo A: indutores de \,16\\ \text{mH} e \,14\\ \text{mH} ligados em série.
  • Ramo B: indutores de \,24\\ \text{mH} e \,36\\ \text{mH} ligados em série.
O que se pede: calcular a indutância equivalente total do circuito (a indutância que substituiria todo o conjunto mantendo o mesmo comportamento).

Passo 2

Regra para indutores em série (explicação didática):
  • Para um indutor ideal a relação entre tensão e corrente é \,v=L\,\dfrac{di}{dt}, onde \,L é a indutância, v a tensão e i a corrente.
  • Em componentes em série a mesma corrente passa por todos eles; as tensões individuais se somam.
  • Para dois indutores em série L_1 e L_2 temos
v = v_1 + v_2 = L_1\frac{di}{dt} + L_2\frac{di}{dt} = (L_1+L_2)\frac{di}{dt}.
  • Portanto o equivalente em série é simplesmente a soma:
L_{\text{série}} = L_1 + L_2.é
Calculemos cada ramo usando essa regra (faço as contas em \text{mH} para ficar simples):
  • Ramo A:
L_A = 16\\ \text{mH} + 14\\ \text{mH} = 30\\ \text{mH}.
  • Ramo B:
L_B = 24\\ \text{mH} + 36\\ \text{mH} = 60\\ \text{mH}.

Passo 3

Regra para indutores em paralelo (explicação didática com derivação simples):
  • Em paralelo a tensão nos ramos é a mesma: v.
  • As correntes se somam: i = i_1 + i_2.
  • Como v = L_1\frac{di_1}{dt} e v = L_2\frac{di_2}{dt}, temos
\frac{di_1}{dt}=\frac{v}{L_1},\qquad \frac{di_2}{dt}=\frac{v}{L_2}.
  • Somando:
\frac{di}{dt}=\frac{di_1}{dt}+\frac{di_2}{dt}=v\left(\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}\right).
  • Para o indutor equivalente L_{\text{eq}} valeria v=L_{\text{eq}}\dfrac{di}{dt}. Substituindo \dfrac{di}{dt} acima e cancelando v (assumindo v\neq0) obtemos
\frac{1}{L_{\text{eq}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}.
  • Essa é a mesma forma que se usa para resistores em paralelo, só que aqui com indutâncias.

Passo 4

Aplicando a fórmula do paralelo aos dois ramos cujas indutâncias já calculamos ( L_A=30\\ \text{mH} e L_B=60\\ \text{mH}):
\frac{1}{L_{\text{eq}}}=\frac{1}{30\\ \text{mH}}+\frac{1}{60\\ \text{mH}}.
Calcule cada termo (em \text{mH}^{-1}):
\frac{1}{30}=\frac{2}{60},\qquad \frac{1}{60}=\frac{1}{60},
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\frac{1}{L_{\text{eq}}}=\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}.
Invertemos para obter L_{\text{eq}}:
L_{\text{eq}}=20\\ \text{mH}.

Passo 5

Verificação e interpretação rápida:
  • Faz sentido físico: dois ramos com indutâncias 30\\ \text{mH} e 60\\ \text{mH} em paralelo produzem uma indutância menor que o menor dos dois ramos (menor que 30\\ \text{mH}); o valor encontrado 20\\ \text{mH} satisfaz isso.
  • Unidade está consistente: operamos em \text{mH} durante as somas e inversões, resultado em \text{mH}.

Resposta

20\\ \text{mH}

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