(5) Três cargas estão nos vértices de um quadrado de lado \mathrm{L}=2,0 \mathrm{~m} : Q_{1}=1,0 \mu C (vértice superior esquerdo), Q_{2}=2,0 \mu C (superior direito) e \mathrm{Q}_{3}=-3,0 \mu \mathrm{C} (inferior esquerdo). Qual é o módulo do campo elétrico no centro O do quadrado?
Solução:
Distância do centro a cada vértice:
\mathrm{d}=\frac{\mathrm{L}}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=1,41 \mathrm{~m}
Campos de cada carga no centro:
\begin{array}{l} E_{1}=k \frac{1,0 \times 10^{-6}}{(1,41)^{2}}=4,50 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \\\ E_{2}=2 E_{1}=9,00 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \\\ E_{3}=3 E_{1}=13,5 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{array}
Direções (usando simetria):
E_{x}: E_{1}=E_{3} \rightarrow se anulam
E_{y}: E_{3} (para baixo) - \left(E_{1}+E_{2}\right) (para cima)
E_{y}=13,5-(4,5+9,0)=0
Resposta: \mathrm{E}_{\mathrm{R}}=0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}
(Os campos se cancelam no centro.)

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo elétrico no ponto central O de um quadrado de lado L. Dados fornecidos:
  • L=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Cargas nos vértices:
    • Q_{1}=1{,}0\\ \mu\mathrm{C} (vértice superior esquerdo).
    • Q_{2}=2{,}0\\ \mu\mathrm{C} (vértice superior direito).
    • Q_{3}=-3{,}0\\ \mu\mathrm{C} (vértice inferior esquerdo).
  • Ponto onde se quer E: centro O do quadrado.
    O que se pede: o módulo (valor) do campo elétrico resultante \vec{E}_R em O.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • O campo elétrico criado por uma carga pontual q em distância r tem direção radial (afastando-se da carga se q>0, aproximando-se se q<0) e módulo dado por
\vec{E} = k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde k é a constante eletrostática k\approx 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, r é a distância entre carga e ponto considerado, e \hat{r} é o versor (unidade) na direção do campo.
Aqui cada vértice está à mesma distância do centro: a distância do centro a cada vértice é
d=\frac{L}{\sqrt{2}}=\frac{2{,}0}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx1{,}414\\ \mathrm{m},
portanto
d^{2}=2{,}0\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Cálculo dos módulos dos campos produzidos por cada carga no centro (sem ainda considerar direção):
E_{1}=k\frac{|Q_{1}|}{d^{2}}= \frac{9{,}0\times10^{9}\cdot 1{,}0\times10^{-6}}{2{,}0} =4{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
E_{2}=k\frac{|Q_{2}|}{d^{2}}= \frac{9{,}0\times10^{9}\cdot 2{,}0\times10^{-6}}{2{,}0} =9{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
E_{3}=k\frac{|Q_{3}|}{d^{2}}= \frac{9{,}0\times10^{9}\cdot 3{,}0\times10^{-6}}{2{,}0} =13{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
Comentário didático: note que E é proporcional ao valor absoluto da carga; o sinal da carga determina a direção do vetor (afastamento ou aproximação), não o módulo.

Passo 4

Definição de eixos e direções (importante para somar vetorialmente; passo didático):
  • Escolho sistema cartesiano com origem em O: eixo x apontando para a direita, eixo y apontando para cima.
  • Coordenadas dos vértices (em metros): Q_{1} em (-L/2,\; +L/2)=(-1{,}0,\; +1{,}0), Q_{2} em (+1{,}0,\; +1{,}0), Q_{3} em (-1{,}0,\; -1{,}0).
  • Cada carga fica em um canto, então o campo no centro tem direção ao longo das diagonais (45°) para cada contribuição. O versor ao longo de uma diagonal tem componentes \pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) com sinais conforme o quadrante.
  • Regras de sentido:
    • Para cargas positivas ( Q_{1},Q_{2}) o campo no centro aponta para fora da carga (do vértice para o centro? cuidado: a partir da carga para o ponto); então:
      • Q_{1} (superior esquerdo, +) produz em O um campo apontando para baixo e para a direita \Rightarrow componentes (+,\,-).
      • Q_{2} (superior direito, +) produz em O um campo apontando para baixo e para a esquerda \Rightarrow componentes (-,\,-).
    • Para carga negativa ( Q_{3}) o campo no centro aponta na direção da carga (atratora), isto é, para baixo e para a esquerda \Rightarrow componentes (-,\,-).
  • Portanto, as componentes x e y de cada campo valem (usando que o fator geométrico é 1/\sqrt{2}):
E_{1x}=+\frac{E_{1}}{\sqrt{2}},\quad E_{1y}=-\frac{E_{1}}{\sqrt{2}},
E_{2x}=-\frac{E_{2}}{\sqrt{2}},\quad E_{2y}=-\frac{E_{2}}{\sqrt{2}},
E_{3x}=-\frac{E_{3}}{\sqrt{2}},\quad E_{3y}=-\frac{E_{3}}{\sqrt{2}}.
(Aqui explicito: os sinais foram determinados pela posição de cada carga e pela regra “positivo → campo aponta para longe; negativo → campo aponta para perto”.)

Passo 5

Somando componentes para obter o campo resultante:
Escrevo as somas algébricas:
E_{Rx}=E_{1x}+E_{2x}+E_{3x}=\frac{E_{1}-E_{2}-E_{3}}{\sqrt{2}},
E_{Ry}=E_{1y}+E_{2y}+E_{3y}=-\frac{E_{1}+E_{2}+E_{3}}{\sqrt{2}}.
Substituindo os valores numéricos (em \mathrm{N/C}):
E_{1}-E_{2}-E_{3}=4{,}50\times10^{3}-9{,}00\times10^{3}-13{,}5\times10^{3}=-18{,}0\times10^{3}.
Logo
E_{Rx}=\frac{-18{,}0\times10^{3}}{\sqrt{2}}=-12{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}\quad(\text{aprox. }-1{,}27\times10^{4}).
E para y:
E_{1}+E_{2}+E_{3}=4{,}50\times10^{3}+9{,}00\times10^{3}+13{,}5\times10^{3}=27{,}0\times10^{3},
E_{Ry}=-\frac{27{,}0\times10^{3}}{\sqrt{2}}=-19{,}1\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}\quad(\text{aprox. }-1{,}91\times10^{4}).
Interpretação: ambos E_{Rx} e E_{Ry} são negativos → campo resultante aponta para baixo e para a esquerda (quadrante inferior esquerdo).

Passo 6

Cálculo do módulo do campo resultante (a resposta pedida). Usa-se o teorema de Pitágoras para somar as componentes ortogonais:
E_{R}=\sqrt{E_{Rx}^{2}+E_{Ry}^{2}}.
Substituindo os valores aproximados:
E_{R}=\sqrt{(-1{,}27\times10^{4})^{2}+(-1{,}91\times10^{4})^{2}} =\sqrt{(1{,}61\times10^{8})+(3{,}65\times10^{8})} =\sqrt{5{,}26\times10^{8}} \approx2{,}30\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando de forma consistente com os dados (duas ou três cifras significativas), obtemos aproximadamente 2{,}30\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

E_{R}\approx2{,}30\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}

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