6.14 Capacitores de 20 pF e 60 pF conectados em série são associados em paralelo com capacitores de 30 pF e 70 pF conectados em série. Determine a capacitância equivalente.

Passo 1

O enunciado dá quatro capacitores com os seguintes valores (todos em picofarads, pF):
  • Capacitor 1: 20\\ \text{pF}
  • Capacitor 2: 60\\ \text{pF}
  • Capacitor 3: 30\\ \text{pF}
  • Capacitor 4: 70\\ \text{pF}
A montagem é: os capacitores de 20\\ \text{pF} e 60\\ \text{pF} estão conectados em série (formam um grupo), e os capacitores de 30\\ \text{pF} e 70\\ \text{pF} estão conectados em série (formam outro grupo). Esses dois grupos estão então ligados em paralelo entre si.
O que pedimos: determinar a capacitância equivalente total do conjunto.

Passo 2

Entender as regras de associação é essencial. Vou explicar as duas regras que usaremos e por que elas valem.
Regra para capacitores em série:
  • Considere dois capacitores em série C_1 e C_2. Em série, a carga Q é a mesma em ambos (porque a mesma corrente passou e não há caminho para descarregar entre eles), e as tensões V_1 e V_2 se somam para dar a tensão total V.
  • Pela definição de capacitância, Q = C_1 V_1 e Q = C_2 V_2. A tensão total é V = V_1 + V_2.
  • Substituindo V_1 = \dfrac{Q}{C_1} e V_2 = \dfrac{Q}{C_2} obtemos
V = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} = Q\!\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right).
  • Definindo a capacitância equivalente em série C_{\text{eq, série}}é por Q = C_{\text{eq, série}}\,Vé, isolamos C_{\text{eq, série}}é:
C_{\text{eq, série}} = \frac{Q}{V} = \frac{1}{\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}}.é
  • Esta expressão pode ser reescrita de forma prática como
C_{\text{eq, série}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}.é
Explicação em palavras: em série a capacitância equivalente é menor que a menor das capacitâncias individuais — pensar em série é como alongar um “espaço” para a carga armazenar energia, reduzindo a capacidade.

Passo 3

Aplicar a fórmula de série ao par 20\\ \text{pF} e 60\\ \text{pF}.
Aqui C_1 = 20\\ \text{pF} e C_2 = 60\\ \text{pF}. Usando
C_{A} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}
temos
C_{A} = \frac{20\cdot 60}{20 + 60}\\ \text{pF} = \frac{1200}{80}\\ \text{pF}.
Simplificando a fração:
\frac{1200}{80} = \frac{1200\div 20}{80\div 20} = \frac{60}{4} = 15.
Portanto o equivalente do primeiro grupo em série é 15\\ \text{pF}.

Passo 4

Aplicar a mesma fórmula ao par 30\\ \text{pF} e 70\\ \text{pF}.
Aqui C_3 = 30\\ \text{pF} e C_4 = 70\\ \text{pF}. Usando
C_{B} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4}
temos
C_{B} = \frac{30\cdot 70}{30 + 70}\\ \text{pF} = \frac{2100}{100}\\ \text{pF}.
Simplificando:
\frac{2100}{100} = 21.
Portanto o equivalente do segundo grupo em série é 21\\ \text{pF}.

Passo 5

Regra para capacitores em paralelo:
  • Quando dois capacitores estão em paralelo, ambos têm a mesma tensão aplicada V. As cargas armazenadas somam: Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = C_1 V + C_2 V = (C_1 + C_2)V.
  • Assim a capacitância equivalente em paralelo é simplesmente a soma:
C_{\text{eq, paralelo}} = C_1 + C_2.
Explicação em palavras: em paralelo aumenta-se a “área efetiva” disponível para armazenar carga, então as capacitâncias somam.

Passo 6

Agora somamos os dois equivalentes em paralelo: C_A = 15\\ \text{pF} e C_B = 21\\ \text{pF}. Pela regra de paralelo
C_{\text{eq}} = C_A + C_B = 15 + 21\\ \text{pF} = 36\\ \text{pF}.
Força aí — essa é uma daquelas questões que, com as fórmulas na ponta da língua, sai rapidinho na prova. Uma dica rápida: para séries, use a forma C_1C_2/(C_1+C_2) quando são só dois; para paralelos, some direto.

Resposta

36\\ \text{pF}

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