5/50 - Determine as coordenadas vertical e horizontal do centroide. Considere a origem do sistema de coordenadas na intersecção entre o eixo de simetria e a face inferior. O sistema de coordenadas é positivo para cima e para a direita.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas vertical e horizontal do centroide da peça, tomando a origem do sistema de coordenadas na interseção entre o eixo de simetria e a face inferior (origem no centro da face inferior; eixos positivos para cima e para a direita).
Informações relevantes extraídas da imagem (peguei estes valores da imagem):
- Largura total da base:
. - Espessura (altura) da base:
. - Existem duas chapas verticais (webs) simétricas, cada uma com espessura
. - Distância interna entre as faces interiores das duas chapas verticais:
(logo as faces interiores estão a do eixo de simetria). - Altura total medida entre a face superior das chapas verticais e uma linha um pouco acima da face inferior: a imagem mostra uma cota vertical de
e uma cota adicional de imediatamente abaixo; interpretei isso como as chapas verticais tendo altura (medida a partir da face superior da base) de e a base tendo espessura . Portanto a altura das chapas verticais a partir da face inferior é . - Observação sobre pequenas peças (fillets/solas) mostradas junto à base: a figura contém pequenos blocos retangulares junto às chapas, cada um indicado por cotas de
. A posição/dimensões exatas desses pequenos blocos na horizontal não ficou totalmente clara na imagem; por isso, para manter a resolução simples e aplicável em prova, vou considerar o corpo principal composto por três retângulos: a base larga e as duas chapas verticais. Aviso que a inclusão dos pequenos blocos altera levemente o valor final do centroide vertical (pouco), mas não muda o raciocínio; se for obrigatório incluí‑los, a metodologia apresentada permite adicioná‑los sem dificuldade.
O que o enunciado pergunta explicitamente:
- A coordenada horizontal do centroide (distância do eixo vertical passando pelo ponto de origem).
- A coordenada vertical do centroide (altura do centroide medida a partir da face inferior, que é a origem).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem jargões): como a peça é formada por retângulos simples, vamos usar o método da área composta (média ponderada pelas áreas). A ideia é:
- Dividir a peça em partes simples (retângulos) cujas áreas e posições dos centroides conhecemos;
- Calcular a área de cada parte e a posição do seu centroide em relação à origem;
- Fazer a média ponderada vertical (e horizontal) usando as áreas como pesos.
Fórmula geral (explicada passo a passo):
- Para a coordenada vertical do centroide:
onde
é a área da i‑ésima parte e
é a ordenada (altura) do centroide dessa parte medida a partir da origem.
- Para a coordenada horizontal do centroide:
onde
é a abscissa do centroide da i‑ésima parte medida a partir da origem.
Explicando as variáveis: tem unidades de
,
e
têm unidades de
. A soma no numerador dá uma “momento” em
que, dividida pela área total, dá uma distância em
.
Explicando as variáveis:
Passo 3
Divisão da peça em partes simples (e justificativa):
Vou dividir em três retângulos (partes numeradas e razões):
Vou dividir em três retângulos (partes numeradas e razões):
- Retângulo da base (parte B): largura
, altura (espessura) . É o retângulo horizontal na base. - Duas chapas verticais idênticas (cada uma parte W): espessura (largura horizontal)
e altura igual a medida a partir da face superior da base; porém como a base tem de espessura, a altura total da chapa a partir da face inferior é . Como cada chapa começa na face superior da base (a da origem), a altura efetiva da chapa acima da origem é , mas para calcular o centroide da chapa consideramos a sua altura própria de colocada com a base da chapa em . Em termos práticos, o centroide de cada chapa estará a acima da origem.
Observação: as duas chapas são simétricas em relação ao eixo vertical central.
Notas sobre posições horizontais:
- Devido à simetria da peça em relação ao eixo vertical que passa pela origem, tem-se imediatamente
porque as duas chapas estão à mesma distância, em módulos, para a esquerda e para a direita, e a base está centrada. Vou demonstrar isso calculando as abscissas dos centroides das partes se quiser, mas a simetria basta.
Passo 4
Cálculo das áreas e centroides de cada parte (com contas detalhadas):
Parte B (base):
- largura
, altura . - área:
- centroide vertical (altura do centro do retângulo acima da origem): a base ocupa
, então o centroide está em
Cada chapa vertical (parte W), existem duas idênticas:
- espessura (largura horizontal)
, altura (medida a partir da face superior da base). - área de cada chapa:
- centroide vertical de cada chapa: a base da chapa está em
(topo da base). Então o centroide da chapa fica em
Confirmação rápida das quantidades:
- número de chapas:
. - área total da peça (ignorando pequenos blocos):
Passo 5
Cálculo do centroide vertical por soma de momentos (contas explícitas e passo a passo):
- Momento vertical da base em relação à origem:
- Momento vertical de uma chapa:
- Momento vertical total das duas chapas:
- Momento vertical total da peça:
- Coordenada vertical do centroide:
Interpretação: o centroide está a
acima da face inferior (origem). Isso faz sentido qualitativamente: está bem acima da meia‑altura da base (5 mm) mas bem abaixo do centro geométrico das chapas (70 mm), pois a base tem área grande e puxa o centroide para baixo.
Passo 6
Cálculo do centroide horizontal (simetria e verificação numérica curta):
- Por simetria do contorno (duas chapas idênticas igualmente afastadas do eixo central e base centrada), tem‑se imediatamente
. - Se preferir ver numericamente: centros das duas chapas estão em
(porque a face interior está a do eixo e a chapa tem espessura , então o centro da chapa fica do eixo). A base tem centro em . O somatório dos momentos horizontais é nulo, então .