5/50 - Determine as coordenadas vertical e horizontal do centroide. Considere a origem do sistema de coordenadas na intersecção entre o eixo de simetria e a face inferior. O sistema de coordenadas é positivo para cima e para a direita.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas vertical e horizontal do centroide da peça, tomando a origem do sistema de coordenadas na interseção entre o eixo de simetria e a face inferior (origem no centro da face inferior; eixos positivos para cima e para a direita).
Informações relevantes extraídas da imagem (peguei estes valores da imagem):
  • Largura total da base: 160\\ \text{mm}.
  • Espessura (altura) da base: 10\\ \text{mm}.
  • Existem duas chapas verticais (webs) simétricas, cada uma com espessura 10\\ \text{mm}.
  • Distância interna entre as faces interiores das duas chapas verticais: 80\\ \text{mm} (logo as faces interiores estão a 40\\ \text{mm} do eixo de simetria).
  • Altura total medida entre a face superior das chapas verticais e uma linha um pouco acima da face inferior: a imagem mostra uma cota vertical de 120\\ \text{mm} e uma cota adicional de 10\\ \text{mm} imediatamente abaixo; interpretei isso como as chapas verticais tendo altura (medida a partir da face superior da base) de 120\\ \text{mm} e a base tendo espessura 10\\ \text{mm}. Portanto a altura das chapas verticais a partir da face inferior é 10+120=130\\ \text{mm}.
  • Observação sobre pequenas peças (fillets/solas) mostradas junto à base: a figura contém pequenos blocos retangulares junto às chapas, cada um indicado por cotas de 10\\ \text{mm}. A posição/dimensões exatas desses pequenos blocos na horizontal não ficou totalmente clara na imagem; por isso, para manter a resolução simples e aplicável em prova, vou considerar o corpo principal composto por três retângulos: a base larga e as duas chapas verticais. Aviso que a inclusão dos pequenos blocos altera levemente o valor final do centroide vertical (pouco), mas não muda o raciocínio; se for obrigatório incluí‑los, a metodologia apresentada permite adicioná‑los sem dificuldade.
O que o enunciado pergunta explicitamente:
  • A coordenada horizontal do centroide (distância do eixo vertical passando pelo ponto de origem).
  • A coordenada vertical do centroide (altura do centroide medida a partir da face inferior, que é a origem).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem jargões): como a peça é formada por retângulos simples, vamos usar o método da área composta (média ponderada pelas áreas). A ideia é:
  • Dividir a peça em partes simples (retângulos) cujas áreas e posições dos centroides conhecemos;
  • Calcular a área de cada parte e a posição do seu centroide em relação à origem;
  • Fazer a média ponderada vertical (e horizontal) usando as áreas como pesos.
Fórmula geral (explicada passo a passo):
  • Para a coordenada vertical do centroide:
\bar{y}=\frac{\sum_{i} A_i\,y_i}{\sum_{i} A_i},
onde A_i é a área da i‑ésima parte e y_i é a ordenada (altura) do centroide dessa parte medida a partir da origem.
  • Para a coordenada horizontal do centroide:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} A_i\,x_i}{\sum_{i} A_i},
onde x_i é a abscissa do centroide da i‑ésima parte medida a partir da origem.
Explicando as variáveis: A_i tem unidades de \text{mm}^2, x_i e y_i têm unidades de \text{mm}. A soma no numerador dá uma “momento” em \text{mm}^3 que, dividida pela área total, dá uma distância em \text{mm}.

Passo 3

Divisão da peça em partes simples (e justificativa):
Vou dividir em três retângulos (partes numeradas e razões):
  1. Retângulo da base (parte B): largura 160\\ \text{mm}, altura (espessura) 10\\ \text{mm}. É o retângulo horizontal na base.
  2. Duas chapas verticais idênticas (cada uma parte W): espessura (largura horizontal) 10\\ \text{mm} e altura igual a 120\\ \text{mm} medida a partir da face superior da base; porém como a base tem 10\\ \text{mm} de espessura, a altura total da chapa a partir da face inferior é 120+10=130\\ \text{mm}. Como cada chapa começa na face superior da base (a 10\\ \text{mm} da origem), a altura efetiva da chapa acima da origem é 120+10, mas para calcular o centroide da chapa consideramos a sua altura própria de 120\\ \text{mm} colocada com a base da chapa em y=10\\ \text{mm}. Em termos práticos, o centroide de cada chapa estará a 10 + \tfrac{120}{2} acima da origem.
    Observação: as duas chapas são simétricas em relação ao eixo vertical central.
Notas sobre posições horizontais:
  • Devido à simetria da peça em relação ao eixo vertical que passa pela origem, tem-se imediatamente
\bar{x}=0,
porque as duas chapas estão à mesma distância, em módulos, para a esquerda e para a direita, e a base está centrada. Vou demonstrar isso calculando as abscissas dos centroides das partes se quiser, mas a simetria basta.

Passo 4

Cálculo das áreas e centroides de cada parte (com contas detalhadas):
Parte B (base):
  • largura b_B=160\\ \text{mm}, altura h_B=10\\ \text{mm}.
  • área: A_B = b_B\cdot h_B = 160\cdot 10 = 1600\\ \text{mm}^2.
  • centroide vertical (altura do centro do retângulo acima da origem): a base ocupa 0\le y\le 10, então o centroide está em y_B=\tfrac{10}{2}=5\\ \text{mm}.
Cada chapa vertical (parte W), existem duas idênticas:
  • espessura (largura horizontal) b_W=10\\ \text{mm}, altura h_W=120\\ \text{mm} (medida a partir da face superior da base).
  • área de cada chapa:
A_W = b_W\cdot h_W = 10\cdot 120 = 1200\\ \text{mm}^2.
  • centroide vertical de cada chapa: a base da chapa está em y=10\\ \text{mm} (topo da base). Então o centroide da chapa fica em
y_W = 10 + \frac{120}{2} = 10 + 60 = 70\\ \text{mm}.
Confirmação rápida das quantidades:
  • número de chapas: 2.
  • área total da peça (ignorando pequenos blocos): A_\text{total} = A_B + 2A_W = 1600 + 2\cdot 1200 = 1600 + 2400 = 4000\\ \text{mm}^2.

Passo 5

Cálculo do centroide vertical por soma de momentos (contas explícitas e passo a passo):
  • Momento vertical da base em relação à origem:
M_{y,B} = A_B\,y_B = 1600\cdot 5 = 8000\\ \text{mm}^3.
  • Momento vertical de uma chapa:
M_{y,W} = A_W\,y_W = 1200\cdot 70 = 84\,000\\ \text{mm}^3.
  • Momento vertical total das duas chapas:
M_{y,\text{2W}} = 2\cdot 84\,000 = 168\,000\\ \text{mm}^3.
  • Momento vertical total da peça:
M_{y,\text{total}} = M_{y,B} + M_{y,\text{2W}} = 8\,000 + 168\,000 = 176\,000\\ \text{mm}^3.
  • Coordenada vertical do centroide:
\bar{y} = \frac{M_{y,\text{total}}}{A_\text{total}} = \frac{176\,000}{4\,000} = 44\\ \text{mm}.
Interpretação: o centroide está a 44\\ \text{mm} acima da face inferior (origem). Isso faz sentido qualitativamente: está bem acima da meia‑altura da base (5 mm) mas bem abaixo do centro geométrico das chapas (70 mm), pois a base tem área grande e puxa o centroide para baixo.

Passo 6

Cálculo do centroide horizontal (simetria e verificação numérica curta):
  • Por simetria do contorno (duas chapas idênticas igualmente afastadas do eixo central e base centrada), tem‑se imediatamente \bar{x}=0.
  • Se preferir ver numericamente: centros das duas chapas estão em x=\pm 45\\ \text{mm} (porque a face interior está a 40\\ \text{mm} do eixo e a chapa tem espessura 10\\ \text{mm}, então o centro da chapa fica 40+5=45\\ \text{mm} do eixo). A base tem centro em x=0. O somatório dos momentos horizontais é nulo, então \bar{x}=0.

Resposta

\bar{x}=0\\ \text{mm}
\bar{y}=44\\ \text{mm}

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