5/27 - Determine, por integração, a coordenada x do centroide do componente esférico.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, por integração, a coordenada x do centroide do componente esférico mostrado na figura.
Informações relevantes que eu peguei da imagem:
  • A esfera tem raio R.
  • O componente esférico é o “cap” à direita obtido cortando a esfera por um plano que fica a uma distância \dfrac{R}{2} do centro da esfera; portanto o componente vai de x=\dfrac{R}{2} até x=R ao longo do eixo x. (Peguei estes valores da imagem.)
  • O eixo x passa pelo centro da esfera e a simetria em torno desse eixo permite usar fatias circulares perpendiculares a x.
O que se pede exatamente: calcular a coordenada x do centroide (isto é, a abscissa média ponderada pela massa/volume), medida a partir do centro da esfera.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do que vamos usar):
  • Vamos usar o método das fatias perpendiculares ao eixo x. Cada fatia em posição x é um disco de espessura infinitesimal dx e de área A(x).
  • O volume elementar é dV = A(x)\,dx.
  • A coordenada x do centroide de um corpo homogêneo é dada por
\bar{x}=\frac{1}{V}\int x\,dV,
onde V=\int dV é o volume do corpo. Aqui x é a abscissa da fatia; dV é o volume dessa fatia.
  • Então precisamos calcular V=\int_{x_1}^{x_2} A(x)\,dx e M_x=\int_{x_1}^{x_2} x\,A(x)\,dx, com x_1=\dfrac{R}{2} e x_2=R. Por fim \bar{x}=M_x/V.

Passo 3

Expressão da área da fatia em função de x:
  • A esfera de raio R centrada na origem tem seção transversal (no plano perpendicular a x) dada pelo círculo de raio y satisfazendo y^2=R^2-x^2.
  • Assim a área do disco em x é
A(x)=\pi y^2=\pi\bigl(R^2-x^2\bigr).
  • Logo o volume elementar é
dV=A(x)\,dx=\pi\bigl(R^2-x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Cálculo do volume V do cap (mostrando passos):
V=\int_{x=\frac{R}{2}}^{R} \pi\bigl(R^2-x^2\bigr)\,dx =\pi\left[ R^2 x-\frac{x^3}{3}\right]_{x=\frac{R}{2}}^{x=R}.
Avaliaremos os termos cuidadosamente.
Avaliação no limite superior x=R:
R^2\cdot R-\frac{R^3}{3}=R^3-\frac{R^3}{3}=\frac{2}{3}R^3.
Avaliação no limite inferior x=\dfrac{R}{2}:
R^2\cdot\frac{R}{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{R}{2}\right)^3 =\frac{R^3}{2}-\frac{R^3}{24} =\frac{12-1}{24}R^3=\frac{11}{24}R^3.
Subtraindo:
V=\pi\left(\frac{2}{3}R^3-\frac{11}{24}R^3\right) =\pi R^3\left(\frac{16}{24}-\frac{11}{24}\right) =\pi R^3\cdot\frac{5}{24}.
Portanto
V=\frac{5}{24}\pi R^3.
(Observação rápida de verificação: isto coincide com a fórmula conhecida do volume do cap V=\pi h^2\bigl(R-\tfrac{h}{3}\bigr) com h=\tfrac{R}{2}.)

Passo 5

Cálculo do momento estático M_x=\int x\,dV=\int x A(x)\,dx:
M_x=\int_{x=\frac{R}{2}}^{R} x\cdot\pi\bigl(R^2-x^2\bigr)\,dx =\pi\int_{\frac{R}{2}}^{R}\bigl(R^2 x - x^3\bigr)\,dx =\pi\left[\frac{R^2 x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{x=\frac{R}{2}}^{x=R}.
Avaliação no limite superior x=R:
\frac{R^2 R^2}{2}-\frac{R^4}{4}=\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}=\frac{R^4}{4}.
Avaliação no limite inferior x=\dfrac{R}{2}:
\frac{R^2}{2}\left(\frac{R}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\left(\frac{R}{2}\right)^4 =\frac{R^4}{8}-\frac{R^4}{64} =\frac{8-1}{64}R^4=\frac{7}{64}R^4.
Subtraindo:
M_x=\pi\left(\frac{R^4}{4}-\frac{7}{64}R^4\right) =\pi R^4\left(\frac{16}{64}-\frac{7}{64}\right) =\pi R^4\cdot\frac{9}{64}.
Portanto
M_x=\frac{9}{64}\pi R^4.

Passo 6

Cálculo da coordenada do centroide \bar{x}:
\bar{x}=\frac{M_x}{V} =\frac{\dfrac{9}{64}\pi R^4}{\dfrac{5}{24}\pi R^3} =R\cdot\frac{\dfrac{9}{64}}{\dfrac{5}{24}} =R\cdot\frac{9}{64}\cdot\frac{24}{5}.
Simplificando \dfrac{24}{64}=\dfrac{3}{8}, obtemos
\bar{x}=R\cdot\frac{9\cdot 3}{8\cdot 5}=R\cdot\frac{27}{40}.
Portanto a coordenada do centroide, medida a partir do centro da esfera ao longo do eixo x, é
\bar{x}=\frac{27}{40}R.
Pequena verificação de razoabilidade: \dfrac{27}{40}R=0{,}675R está entre \dfrac{R}{2}=0{,}5R (base do cap) e R (extremo), o que é esperado.

Resposta

\displaystyle \bar{x}=\frac{27}{40}\,R

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