5/27 - Determine, por integração, a coordenada
do centroide do componente esférico.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, por integração, a coordenada
do centroide do componente esférico mostrado na figura.
Informações relevantes que eu peguei da imagem:
- A esfera tem raio
. - O componente esférico é o “cap” à direita obtido cortando a esfera por um plano que fica a uma distância
do centro da esfera; portanto o componente vai de até ao longo do eixo . (Peguei estes valores da imagem.) - O eixo
passa pelo centro da esfera e a simetria em torno desse eixo permite usar fatias circulares perpendiculares a .
O que se pede exatamente: calcular a coordenada
do centroide (isto é, a abscissa média ponderada pela massa/volume), medida a partir do centro da esfera.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do que vamos usar):
- Vamos usar o método das fatias perpendiculares ao eixo
. Cada fatia em posição é um disco de espessura infinitesimal e de área . - O volume elementar é
. - A coordenada
do centroide de um corpo homogêneo é dada por
onde
é o volume do corpo. Aqui
é a abscissa da fatia;
é o volume dessa fatia.
- Então precisamos calcular
e , com e . Por fim .
Passo 3
Expressão da área da fatia em função de
:
- A esfera de raio
centrada na origem tem seção transversal (no plano perpendicular a ) dada pelo círculo de raio satisfazendo . - Assim a área do disco em
é
- Logo o volume elementar é
Passo 4
Cálculo do volume
do cap (mostrando passos):
Avaliaremos os termos cuidadosamente.
Avaliação no limite superior
:
Avaliação no limite inferior
:
Subtraindo:
Portanto
(Observação rápida de verificação: isto coincide com a fórmula conhecida do volume do cap
com
.)
Passo 5
Cálculo do momento estático
:
Avaliação no limite superior
:
Avaliação no limite inferior
:
Subtraindo:
Portanto
Passo 6
Cálculo da coordenada do centroide
:
Simplificando
, obtemos
Portanto a coordenada do centroide, medida a partir do centro da esfera ao longo do eixo
, é
Pequena verificação de razoabilidade:
está entre
(base do cap) e
(extremo), o que é esperado.