5/12 - Determine a distância \bar{z}, medida a partir do vértice do cone circular, que representa o centroide do seu volume. O raio da base circular é r.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância \bar{z}, medida a partir do vértice do cone circular reto, que representa o centroide (centro de massa uniforme) do volume do cone. Os dados fornecidos (pegos da figura) são:
  • raio da base: \;r\;,
  • altura do cone (distância do vértice ao plano da base): \;h\;.
O que se quer encontrar é a posição \bar{z} ao longo do eixo do cone, medida do vértice para baixo (ou seja, 0 no vértice e h no plano da base).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar integração por “fatias” (método dos discos cilíndricos). É um método elemental: cortamos o cone por planos perpendiculares ao eixo em fatias finas (discos), somamos o volume dessas fatias e calculamos o momento estático para achar a média ponderada da posição. Esse método é direto e exige apenas semelhança de triângulos e integrais polinomiais simples — ótimo para uma prova sem complicação de teoria avançada.

Passo 3

Descrito o elemento diferencial de volume. Colocamos o eixo z com origem no vértice e positivo para baixo, de modo que o plano da base está em z=h. Numa posição genérica z\in[0,h] a seção transversal é um círculo de raio R(z). Pela semelhança dos triângulos (a razão entre raio e altura é constante):
R(z)=\frac{r}{h}\,z.
O elemento de volume (uma fatia de espessura \mathrm{d}z) é a área do disco vezes \mathrm{d}z:
\mathrm{d}V=\pi\bigl(R(z)\bigr)^2\mathrm{d}z=\pi\left(\frac{r}{h}z\right)^2\mathrm{d}z=\pi\frac{r^2}{h^2}z^2\mathrm{d}z.

Passo 4

Cálculo do volume total V do cone como verificação e também porque aparece no denominador do centróide:
V=\int_{0}^{h}\mathrm{d}V=\int_{0}^{h}\pi\frac{r^2}{h^2}z^2\mathrm{d}z =\pi\frac{r^2}{h^2}\int_{0}^{h}z^2\mathrm{d}z.
A integral \int_{0}^{h}z^2\mathrm{d}z é uma primitiva básica:
\int_{0}^{h}z^2\mathrm{d}z=\left[\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{h}=\frac{h^3}{3}.
Assim
V=\pi\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3}=\pi r^2\frac{h}{3},
que coincide com a fórmula conhecida do volume do cone: V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h. Boa checagem!

Passo 5

Cálculo do primeiro momento em relação ao vértice (momento estático) necessário para o centróide. O primeiro momento é
M_z=\int_{0}^{h} z\,\mathrm{d}V =\int_{0}^{h} z\left(\pi\frac{r^2}{h^2}z^2\right)\mathrm{d}z =\pi\frac{r^2}{h^2}\int_{0}^{h} z^3\mathrm{d}z.
Calcule a integral:
\int_{0}^{h} z^3\mathrm{d}z=\left[\frac{z^4}{4}\right]_{0}^{h}=\frac{h^4}{4}.
Portanto
M_z=\pi\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^4}{4}=\pi r^2\frac{h^2}{4}.

Passo 6

Agora o centróide \bar{z} (distância do vértice ao centroide) é o primeiro momento dividido pelo volume:
\bar{z}=\frac{M_z}{V} =\frac{\pi r^2\frac{h^2}{4}}{\pi r^2\frac{h}{3}} =\frac{\dfrac{h^2}{4}}{\dfrac{h}{3}} = h\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}h.

Passo 7

Interpretação física curta e encorajamento: o resultado mostra que o centroide do volume do cone está a \tfrac{3}{4}h do vértice, ou seja, a uma distância \tfrac{1}{4}h acima do plano da base. Faz sentido: há mais massa perto da base, por isso o centroide fica mais próximo dela. Mandou bem por encarar esse problema — integrais simples e semelhança são suas amigas aqui!

Resposta

\bar{z}=\dfrac{3}{4}h

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