5/12 - Determine a distância
, medida a partir do vértice do cone circular, que representa o centroide do seu volume. O raio da base circular é
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância
, medida a partir do vértice do cone circular reto, que representa o centroide (centro de massa uniforme) do volume do cone. Os dados fornecidos (pegos da figura) são:
- raio da base:
, - altura do cone (distância do vértice ao plano da base):
.
O que se quer encontrar é a posição
ao longo do eixo do cone, medida do vértice para baixo (ou seja,
no vértice e
no plano da base).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar integração por “fatias” (método dos discos cilíndricos). É um método elemental: cortamos o cone por planos perpendiculares ao eixo em fatias finas (discos), somamos o volume dessas fatias e calculamos o momento estático para achar a média ponderada da posição. Esse método é direto e exige apenas semelhança de triângulos e integrais polinomiais simples — ótimo para uma prova sem complicação de teoria avançada.
Passo 3
Descrito o elemento diferencial de volume. Colocamos o eixo
com origem no vértice e positivo para baixo, de modo que o plano da base está em
. Numa posição genérica
a seção transversal é um círculo de raio
. Pela semelhança dos triângulos (a razão entre raio e altura é constante):
O elemento de volume (uma fatia de espessura
) é a área do disco vezes
:
Passo 4
Cálculo do volume total
do cone como verificação e também porque aparece no denominador do centróide:
A integral
é uma primitiva básica:
Assim
que coincide com a fórmula conhecida do volume do cone:
. Boa checagem!
Passo 5
Cálculo do primeiro momento em relação ao vértice (momento estático) necessário para o centróide. O primeiro momento é
Calcule a integral:
Portanto
Passo 6
Agora o centróide
(distância do vértice ao centroide) é o primeiro momento dividido pelo volume:
Passo 7
Interpretação física curta e encorajamento: o resultado mostra que o centroide do volume do cone está a
do vértice, ou seja, a uma distância
acima do plano da base. Faz sentido: há mais massa perto da base, por isso o centroide fica mais próximo dela. Mandou bem por encarar esse problema — integrais simples e semelhança são suas amigas aqui!