50 (E. E. Mauá-SP) Um observador, situado à distância \mathrm{L}=25,0 \mathrm{~m} de uma parede, emite um som de freqüência \mathrm{f}=440 \mathrm{~Hz} (Lá fundamental, da escala musical), que se reflete na parede e volta ao observador. O tempo necessário para o som ir do observador e a ele voltar é medido pela contagem, num aparelho registrador, das vibrações de um diapasão que emite uma nota uma oitava acima (ou seja, de freqüência 2 f ). O observador conta, pelo registro, 133,5 vibrações do diapasão. Calcule:
a) o comprimento de onda do som emitído pelo observador (Lá fundamental);
b) a velocidade do som.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o comprimento de onda da onda sonora emitida (nota Lá fundamental);
  • (b) a velocidade do som.
Informações fornecidas (peguei todos os números do enunciado):
  • distância do observador até a parede: L=25{,}0\\ \mathrm{m}.
  • frequência do som emitido pelo observador (Lá fundamental): f=440\\ \mathrm{Hz}.
  • o som vai até a parede e volta, ou seja, percorre distância total 2L.
  • o tempo de ida e volta do som é medido contando 133{,}5 vibrações de um diapasão que vibra com frequência 2f (uma oitava acima). Logo a frequência do diapasão é 2f=880\\ \mathrm{Hz}.
  • número contado de vibrações do diapasão: N=133{,}5.

Passo 2

Como converter a contagem de vibrações do diapasão em tempo?
Um diapasão com frequência f_{\text{diap}}=2f completa f_{\text{diap}} vibrações por segundo. O período (tempo de uma vibração) vale
T_{\text{diap}}=\frac{1}{f_{\text{diap}}}.
Se foram contadas N vibrações, o tempo total medido t é
t = N \cdot T_{\text{diap}} = \frac{N}{f_{\text{diap}}}.
Aqui f_{\text{diap}}=2f, portanto
t = \frac{N}{2f}.
Explicando em palavras: contar vibrações é a mesma coisa que medir quantos períodos do diapasão se passaram; multiplicando pelo período obtemos o tempo do percurso do som.

Passo 3

Calcular numericamente o tempo t usando N=133{,}5 e 2f=880\\ \mathrm{Hz}:
t=\frac{N}{2f}=\frac{133{,}5}{880}.
Fazendo a divisão:
t \approx 0{,}151704545\\ \mathrm{s}\approx 0{,}1517\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora relacionar tempo, distância e velocidade: a velocidade do som v é distância percorrida dividida pelo tempo. A distância total do pulso sonoro (ida e volta) é 2L. Logo
v=\frac{2L}{t}.
Substituindo t=\dfrac{N}{2f} no valor de v pode-se obter uma fórmula alternativa útil:
v=\frac{2L}{\dfrac{N}{2f}} = \frac{2L\cdot 2f}{N} = \frac{4Lf}{N}.
Isso é só uma forma algébrica de evitar passos extras: usando os dados conhecidos, basta calcular v por qualquer uma das expressões equivalentes.

Passo 5

Calcular numericamente v usando L=25{,}0\\ \mathrm{m}, f=440\\ \mathrm{Hz} e N=133{,}5:
Usando a forma direta
v=\frac{2L}{t}=\frac{2\cdot 25{,}0}{0{,}151704545\ldots}.
Fazendo a conta:
v \approx \frac{50{,}0}{0{,}151704545} \approx 329{,}5\\ \mathrm{m/s}.
(ou usando a forma v=\dfrac{4Lf}{N}=\dfrac{4\cdot25{,}0\cdot440}{133{,}5} chega-se ao mesmo valor).

Passo 6

Agora calcular o comprimento de onda \lambda. A relação básica entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda é
v = \lambda f,
onde:
  • v é a velocidade de propagação da onda (em \mathrm{m/s}),
  • f é a frequência (em \mathrm{Hz}),
  • \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).
Desse modo
\lambda = \frac{v}{f}.
Substituindo v\approx329{,}5\\ \mathrm{m/s} e f=440\\ \mathrm{Hz}:
\lambda \approx \frac{329{,}5}{440} \approx 0{,}7488636\\ \mathrm{m}\approx 0{,}749\\ \mathrm{m}.
Observação: usando a expressão direta derivada antes, nota-se também que
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{4Lf}{N}\cdot\frac{1}{f}=\frac{4L}{N},
ou seja
\lambda=\frac{4\cdot 25{,}0}{133{,}5}=\frac{100}{133{,}5}\approx 0{,}7488636\\ \mathrm{m},
mesmo resultado.

Passo 7

Breve verificação de coerência: o valor obtido para v é 329{,}5\\ \mathrm{m/s}, compatível com a velocidade do som no ar em temperatura ambiente (cerca de 340\\ \mathrm{m/s} a 20^\circ\mathrm{C}), então o resultado é razoável.

Resposta

(a) \lambda = 0{,}749\\ \mathrm{m}
(b) v = 329{,}5\\ \mathrm{m/s}

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