Resolva a equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace:
y^{\prime}(t)+y(t)=1, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pede que se resolva pelo método da Transformada de Laplace. Dados:
  • A equação diferencial: y^{\prime}(t)+y(t)=1.
  • A condição inicial: y(0)=0.
O que se pede: encontrar a função \,y(t)\, definida para t\ge 0 que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

O que é a Transformada de Laplace e propriedades úteis (mini-aula rápida e prática).
  • Definição: para uma função f(t) definida em t\ge 0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
  • Transformada de uma constante: \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} (válido para \Re(s)>0).
  • Transformada do exponencial: \mathcal{L}\{e^{-at}\}(s)=\dfrac{1}{s+a} (para \Re(s)>-a).
  • Transformada da derivada (muito importante aqui). Para y com derivada razoável:
\mathcal{L}\{y^{\prime}(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
onde \;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). (Derivação rápida: integrar por partes \int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt e usar que e^{-st}y(t)\to 0 quando t\to\infty sob hipóteses usuais.)
Essas fórmulas são as ferramentas que vamos usar para transformar a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação \,y^{\prime}(t)+y(t)=1.
Usando linearidade e a fórmula da derivada:
\mathcal{L}\{y^{\prime}(t)\}(s)+\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\mathcal{L}\{1\}(s).
Substituindo as expressões conhecidas:
\big(sY(s)-y(0)\big)+Y(s)=\frac{1}{s}.
Agora substitui-se a condição inicial \,y(0)=0:
sY(s)+Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

Colocar Y(s) em evidência e resolver a equação algébrica:
(s+1)Y(s)=\frac{1}{s}.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s(s+1)}.
Agora precisamos inverter esta transformada para voltar a y(t). Para isso, fazemos decomposição em frações parciais.

Passo 5

Decomposição em frações parciais de \dfrac{1}{s(s+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por s(s+1):
1 = A(s+1)+Bs = (A+B)s + A.
Comparando coeficientes: do termo constante vem A=1. Do coeficiente de s vem A+B=0, então B=-A=-1.
Portanto
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo. Usando a tabela:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}(t)=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\}(t)=e^{-t}.
Como Y(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}, temos
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=1 - e^{-t},\qquad t\ge 0.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Condição inicial: y(0)=1- e^{0}=1-1=0 (ok).
  • Substituir na EDO: y'(t)=e^{-t}, então
y'(t)+y(t)=e^{-t} + (1-e^{-t}) = 1,
logo satisfaz a equação (ok).
Pequeno incentivo: tá feito! A técnica transformou a EDO em uma álgebra simples — ótimo truque pra prova quando há termos forçados ou condições iniciais.

Resposta

y(t)=1-e^{-t}

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