Resolva a equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pede que se resolva pelo método da Transformada de Laplace. Dados:
- A equação diferencial:
- A condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
definida para
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
O que é a Transformada de Laplace e propriedades úteis (mini-aula rápida e prática).
- Definição: para uma função
definida em ,
- Linearidade:
. - Transformada de uma constante:
(válido para ). - Transformada do exponencial:
(para ). - Transformada da derivada (muito importante aqui). Para
com derivada razoável:
onde
. (Derivação rápida: integrar por partes
e usar que
quando
sob hipóteses usuais.)
Essas fórmulas são as ferramentas que vamos usar para transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação
.
Usando linearidade e a fórmula da derivada:
Usando linearidade e a fórmula da derivada:
Substituindo as expressões conhecidas:
Agora substitui-se a condição inicial
:
Passo 4
Colocar
em evidência e resolver a equação algébrica:
Logo
Agora precisamos inverter esta transformada para voltar a
. Para isso, fazemos decomposição em frações parciais.
Passo 5
Decomposição em frações parciais de
.
Procuramos constantes e
tais que
Procuramos constantes
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes: do termo constante vem
. Do coeficiente de
vem
, então
.
Portanto
Portanto
Passo 6
Aplicar a transformada inversa termo a termo. Usando a tabela:
-
. -
.
Como
, temos
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Condição inicial:
(ok). - Substituir na EDO:
, então
logo satisfaz a equação (ok).
Pequeno incentivo: tá feito! A técnica transformou a EDO em uma álgebra simples — ótimo truque pra prova quando há termos forçados ou condições iniciais.