( 0,50 ponto) Calcule a quantidade de trabalho que é realizado por uma máquina térmica reversível operando entre dois reservatórios de calor, onde um deles está a 500,00 K e o outro a 200,00 \mathrm{~K}. Considere que 1000 J de calor são retirados do reservatório mais quente.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos os números retirados do enunciado):
  • Temperatura do reservatório quente: T_{h}=500,00\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do reservatório frio: T_{c}=200,00\\ \mathrm{K}.
  • Quantidade de calor retirada do reservatório mais quente: Q_{h}=1000\\ \mathrm{J}.
O que a questão pede:
  • Calcular a quantidade de trabalho W realizada por uma máquina térmica reversível que opera entre esses dois reservatórios quando ela retira Q_{h}=1000\\ \mathrm{J} do reservatório quente.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Definições das grandezas:
    • Q_{h} é o calor absorvido do reservatório quente (energia que entra no motor a partir do quente).
    • Q_{c} é o calor rejeitado para o reservatório frio (energia que sai do motor para o frio).
    • W é o trabalho realizado pela máquina térmica durante um ciclo.
    • A eficiência da máquina é definida por \eta = \dfrac{W}{Q_{h}}.
  • Para uma máquina térmica reversível (máquina de Carnot) existe uma relação entre os calores e as temperaturas dos reservatórios, que vem da condição de reversibilidade (variação líquida de entropia igual a zero). Essa relação é
\frac{Q_{c}}{Q_{h}}=\frac{T_{c}}{T_{h}}.
Explicando por que: num ciclo reversível a soma das variações de entropia dos dois reservatórios é zero, ou seja -\dfrac{Q_{h}}{T_{h}}+\dfrac{Q_{c}}{T_{c}}=0. Reorganizando obtém-se a igualdade acima.
  • A partir daí, o trabalho por ciclo é a diferença entre o calor absorvido e o calor rejeitado:
W=Q_{h}-Q_{c}.
Substituindo \dfrac{Q_{c}}{Q_{h}}=\dfrac{T_{c}}{T_{h}} obtemos a eficiência em função das temperaturas:
\eta=\frac{W}{Q_{h}}=1-\frac{Q_{c}}{Q_{h}}=1-\frac{T_{c}}{T_{h}}.
Nesta fórmula:
  • \eta é um número adimensional (fração da energia tirada do quente que vira trabalho).
  • T_{h} e T_{c} devem estar na mesma unidade termodinâmica (aqui ambos em kelvin).

Passo 3

Calcular numericamente a eficiência usando as temperaturas fornecidas.
Calculemos a razão \dfrac{T_{c}}{T_{h}}:
\frac{T_{c}}{T_{h}}=\frac{200,00}{500,00}=0,40.
Logo a eficiência é
\eta=1-\frac{T_{c}}{T_{h}}=1-0,40=0,60.
Isto significa 60\% da energia absorvida do reservatório quente pode, no máximo (reversivelmente), ser convertida em trabalho.

Passo 4

Calcular o trabalho W usando \eta e Q_{h}.
A relação entre trabalho e calor absorvido é
W=\eta\,Q_{h}.
Substituindo os valores:
W=0,60\times 1000\\ \mathrm{J}=600\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (útil para a prova): calcular Q_{c} e checar a relação com temperaturas.
Q_{c}=Q_{h}-W=1000\\ \mathrm{J}-600\\ \mathrm{J}=400\\ \mathrm{J}.
Verificando a razão:
\frac{Q_{c}}{Q_{h}}=\frac{400}{1000}=0,40=\frac{T_{c}}{T_{h}},
o que confirma que os cálculos estão consistentes com a condição de reversibilidade.

Resposta

600\\ \mathrm{J}

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