Considere a superposição de duas ondas:
y_{1}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x-\omega \cdot t)
y_{2}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x+\omega \cdot t)
sendo y_{m}=(0,40 m), k=\left(20 . m^{-1}\right) e \omega=25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
calcule AMPLITUDE da onda resultante (em m).

Passo 1

O enunciado dá duas ondas e pede a amplitude da onda resultante. Dados fornecidos:
  • y_{1}=y_{m}\cdot\sin(\kappa\cdot x-\omega\cdot t).
  • y_{2}=y_{m}\cdot\sin(\kappa\cdot x+\omega\cdot t).
  • y_{m}=0,40\\ \mathrm{m} (peguei este valor do enunciado).
  • \kappa=20\\ \mathrm{m}^{-1} (peguei este valor do enunciado).
  • \omega=25\\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1} (peguei este valor do enunciado).
O que é pedido:
  • Calcular a AMPLITUDE da onda resultante (em m).
    Observação: como não foi dado um ponto x específico, devemos obter a expressão da amplitude em função de x e também o valor máximo dessa amplitude.

Passo 2

Lembra de uma identidade trigonométrica útil para somar senos (essa é a peça-chave aqui):
\sin A + \sin B = 2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Explicando devagar: se A e B são dois argumentos quaisquer, a soma das senos pode ser escrita como o produto de um seno pela média dos ângulos e um cosseno pela metade da diferença dos ângulos. Essa identidade é padrão e facilita transformar a soma de ondas viajantes em uma forma de “produto” que mostra claramente a amplitude e a oscilação temporal.

Passo 3

Aplicando a identidade ao somatório y=y_{1}+y_{2}. Identificamos
  • A=\kappa x-\omega t,
  • B=\kappa x+\omega t.
Usando a identidade:
y = y_{m}\sin(\kappa x-\omega t)+y_{m}\sin(\kappa x+\omega t) =2y_{m}\sin\!\left(\frac{(\kappa x-\omega t)+(\kappa x+\omega t)}{2}\right)\cos\!\left(\frac{(\kappa x-\omega t)-(\kappa x+\omega t)}{2}\right).
Agora simplificando os argumentos:
\frac{(\kappa x-\omega t)+(\kappa x+\omega t)}{2}=\frac{2\kappa x}{2}=\kappa x, \qquad \frac{(\kappa x-\omega t)-(\kappa x+\omega t)}{2}=\frac{-2\omega t}{2}=-\omega t.
Como \cos(-\omega t)=\cos(\omega t), obtemos a forma bem conhecida da onda estacionária:
y(x,t)=2y_{m}\sin(\kappa x)\cos(\omega t).

Passo 4

Interpretação física e definição de amplitude: para uma função do tipo y(x,t)=A(x)\cos(\omega t) (ou A(x)\sin(\omega t)), a quantidade A(x) é a amplitude da oscilação temporal no ponto fixo x — isto é, o valor máximo (em módulo) que y atinge ao longo do tempo naquele x.
Da expressão encontrada, a amplitude espacial (envelope) é
A(x)=2y_{m}\sin(\kappa x).
Como amplitude é um valor não-negativo (módulo do coeficiente de oscilação no tempo), o módulo útil é
|A(x)|=2y_{m}\,|\sin(\kappa x)|.
Isto significa: em cada posição x a oscilação temporal tem amplitude 2y_{m}|\sin(\kappa x)|. Nos pontos onde \sin(\kappa x)=0 aparecem nodos (amplitude zero); onde |\sin(\kappa x)|=1 a amplitude atinge seu máximo.

Passo 5

Substituindo o valor numérico de y_{m} e de \kappa (peguei esses números do enunciado) na expressão de A(x):
A(x)=2\cdot(0,40)\cdot\sin(20\,x)=0,80\,\sin(20\,x)\\ \text{m}.
E, em módulo:
|A(x)|=0,80\,|\sin(20\,x)|\\ \text{m}.

Passo 6

Amplitude máxima: o máximo de |\sin(20\,x)| é 1, portanto a amplitude máxima possível da onda resultante é
A_{\text{máx}}=0,80\\ \text{m}.á
Também vale comentar (rapidinho): existem posições x onde \sin(20\,x)=0 e aí a amplitude é zero (nodos). Isso ajuda a entender o perfil espacial da onda estacionária.

Resposta

A(x)=0,80\,|\sin(20\,x)|\\ \text{m}
A_{\text{máx}}=0,80\\ \text{m}á

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