A pergunta é: calcular \displaystyle\int_{r}\vec{K}\cdot\overrightarrow{dl}, i.e., a integral de linha de \vec{K} ao longo da curva dada, percorrida do ponto (0,2) para (0,-2) conforme o parâmetro t\in[0,\pi].
Informações relevantes listadas:
\vec{r}(0)=(0,2),\qquad \vec{r}(\pi)=(0,-2), \qquad \vec{r}(t)\\ \text{é a semicircunferência direita de raio }2.
O campo tem termo singular em y=-3, mas no percurso temos y\in[-2,2], portanto y+3\neq0 ao longo da curva (nenhum problema com domínio).
Passo 2
Vamos tentar usar uma ideia que simplifica muito: fechar a curva pela semirreta do eixo x=0 (segmento vertical que liga (0,-2) a (0,2)) e aplicar o Teorema de Green. Antes, calculamos as derivadas parciais necessárias.
Calculemos \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x.
Derivando P(x,y)=x^{2}\ln(x^{2}+1)+6xy^{2}-y^{2} em relação a y:
Esta expressão é simples e será integrada sobre a região delimitada pela curva fechada que formaremos.
Passo 4
Explique e aplicar o Teorema de Green (aula rápida): o Teorema de Green diz que, para uma região D do plano com fronteira simples e orientada positivamente (contra‑horário),
Aqui fechamos a curva original (a semicircunferência direita) com o segmento S do eixo x=0 que liga (0,-2) a (0,2). Denotando por C a curva fechada formada pela semicircunferência (na orientação dada pelo parâmetro) seguida do segmento S (do ponto (0,-2) para (0,2)), a orientação é a positiva para a região D que é o semi‑disco direito de raio 2. Então
Explico: estamos usando Green para transformar uma integral de linha complicada sobre a curva em uma integral dupla simples sobre a meia‑lua direita, menos a contribuição do segmento que fecha a curva.
Passo 5
Calcule a integral dupla \iint_{D}2(x+y)\,dA sobre o semidisco direito D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\ x\ge0\}.
Observação: a região D é simétrica em relação ao eixo x: para cada ponto (x,y)\in D existe (x,-y)\in D. Isso faz com que \iint_{D}y\,dA=0 (as contribuições positivas e negativas em y se cancelam). Portanto só precisamos calcular 2\iint_{D}x\,dA.
Passe para coordenadas polares. No semidisco direito, \;r\in[0,2], \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], e x=r\cos\theta. O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim