2,50 pontos
Considere a trajetória \vec{r}(t)=(2 \sin t, 2 \cos t), t \in[0, \pi]. Calcule \int_{r} \vec{K} \cdot \overrightarrow{d l}, onde
\vec{K}(x, y)=\left(x^{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+6 x y^{2}-y^{2}, \frac{1}{y+3}+[6 y+1] x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a trajetória \vec{r}(t)=(2\sin t,\,2\cos t), t\in[0,\pi], e o campo vetorial
\vec{K}(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)
com
P(x,y)=x^{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+6xy^{2}-y^{2}, \qquad Q(x,y)=\frac{1}{y+3}+(6y+1)x^{2}.
A pergunta é: calcular \displaystyle\int_{r}\vec{K}\cdot\overrightarrow{dl}, i.e., a integral de linha de \vec{K} ao longo da curva dada, percorrida do ponto (0,2) para (0,-2) conforme o parâmetro t\in[0,\pi].
Informações relevantes listadas:
\vec{r}(0)=(0,2),\qquad \vec{r}(\pi)=(0,-2), \qquad \vec{r}(t)\\ \text{é a semicircunferência direita de raio }2.éê
O campo tem termo singular em y=-3, mas no percurso temos y\in[-2,2], portanto y+3\neq0 ao longo da curva (nenhum problema com domínio).

Passo 2

Vamos tentar usar uma ideia que simplifica muito: fechar a curva pela semirreta do eixo x=0 (segmento vertical que liga (0,-2) a (0,2)) e aplicar o Teorema de Green. Antes, calculamos as derivadas parciais necessárias.
Calculemos \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x.
Derivando P(x,y)=x^{2}\ln(x^{2}+1)+6xy^{2}-y^{2} em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\ln(x^{2}+1)\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(6xy^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr).
O primeiro termo é zero (não depende de y). Para os outros:
\frac{\partial}{\partial y}(6xy^{2})=12xy, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=12xy-2y.
Agora \partial Q/\partial x com Q(x,y)=\dfrac{1}{y+3}+(6y+1)x^{2}:
\frac{\partial Q}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y+3}\right) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl((6y+1)x^{2}\bigr).
O primeiro termo é zero (não depende de x). O segundo é
\frac{\partial}{\partial x}\bigl((6y+1)x^{2}\bigr)=2x(6y+1)=12xy+2x.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=12xy+2x.

Passo 3

Calcule a diferença que aparece no Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(12xy+2x)-(12xy-2y)=2x+2y=2(x+y).
Esta expressão é simples e será integrada sobre a região delimitada pela curva fechada que formaremos.

Passo 4

Explique e aplicar o Teorema de Green (aula rápida): o Teorema de Green diz que, para uma região D do plano com fronteira simples e orientada positivamente (contra‑horário),
\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui fechamos a curva original (a semicircunferência direita) com o segmento S do eixo x=0 que liga (0,-2) a (0,2). Denotando por C a curva fechada formada pela semicircunferência (na orientação dada pelo parâmetro) seguida do segmento S (do ponto (0,-2) para (0,2)), a orientação é a positiva para a região D que é o semi‑disco direito de raio 2. Então
\oint_{C}\vec{K}\cdot d\vec{l}=\iint_{D}2(x+y)\,dA.
Mas \oint_{C}\vec{K}\cdot d\vec{l}=\int_{\text{semicírculo}}\vec{K}\cdot d\vec{l}+\int_{S}\vec{K}\cdot d\vec{l}.í Assim,
\int_{\text{semicírculo}}\vec{K}\cdot d\vec{l}=\iint_{D}2(x+y)\,dA-\int_{S}\vec{K}\cdot d\vec{l}.í
Explico: estamos usando Green para transformar uma integral de linha complicada sobre a curva em uma integral dupla simples sobre a meia‑lua direita, menos a contribuição do segmento que fecha a curva.

Passo 5

Calcule a integral dupla \iint_{D}2(x+y)\,dA sobre o semidisco direito D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\ x\ge0\}.
Separe em duas integrais:
\iint_{D}2(x+y)\,dA=2\iint_{D}x\,dA+2\iint_{D}y\,dA.
Observação: a região D é simétrica em relação ao eixo x: para cada ponto (x,y)\in D existe (x,-y)\in D. Isso faz com que \iint_{D}y\,dA=0 (as contribuições positivas e negativas em y se cancelam). Portanto só precisamos calcular 2\iint_{D}x\,dA.
Passe para coordenadas polares. No semidisco direito, \;r\in[0,2], \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], e x=r\cos\theta. O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim
2\iint_{D}x\,dA=2\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} (r\cos\theta)\, r\,dr\,d\theta =2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\int_{0}^{2} r^{2}\,dr.
Calcule as integrais separadamente:
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr=\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}, \qquad \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=\left.\sin\theta\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}=1-(-1)=2.
Portanto
2\iint_{D}x\,dA=2\cdot 2\cdot \frac{8}{3}=\frac{32}{3}.
Concluímos
\iint_{D}2(x+y)\,dA=\frac{32}{3}.

Passo 6

Calcule a integral sobre o segmento S (fechamento) que vai de (0,-2) a (0,2). Parametrize S por
\vec{\sigma}(s)=(0,s),\qquad s\in[-2,2],
então d\vec{l}=(0,ds). Ao longo de S temos x=0, portanto K_{2}(0,s)=\dfrac{1}{s+3}+(6s+1)0^{2}=\dfrac{1}{s+3}. Assim
\int_{S}\vec{K}\cdot d\vec{l}=\int_{s=-2}^{2} \frac{1}{s+3}\,ds.
Essa é uma integral elementar de função racional:
\int_{-2}^{2}\frac{1}{s+3}\,ds=\left.\ln|s+3|\right|_{-2}^{2}=\ln(2+3)-\ln(-2+3)=\ln 5-\ln 1=\ln 5.

Passo 7

Combine os resultados: pela fórmula do Passo 4,
\int_{\text{semicírculo}}\vec{K}\cdot d\vec{l}=\iint_{D}2(x+y)\,dA-\int_{S}\vec{K}\cdot d\vec{l} =\frac{32}{3}-\ln 5.í

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}-\ln 5

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