Para um corpo linearmente elástico e isotrópico sujeito a um estado de tensão hidrostático, \sigma_{x}=\sigma_{y}=\sigma_{z}=-p e \tau_{x y}=\tau_{x z}=\tau_{y z}=0, onde p denota pressão, mostre que p=k e com k=E /[3(1-2 v)] e e=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z}. Discute um intervalo fisicamente possível para o coeficiente de Poisson.

Passo 1

O enunciado dá um corpo linearmente elástico e isotrópico sujeito a um estado de tensão hidrostático. As informações fornecidas são:
\sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p,
\tau_{xy}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0,
onde p denota a pressão. Define-se a deformação volumétrica
e=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z.
O que se pede:
  • Mostrar a relação entre pressão e deformação volumétrica na forma p=k\,e com k=\dfrac{E}{3(1-2\nu)}.
  • Discutir o intervalo fisicamente possível para o coeficiente de Poisson \nu.

Passo 2

Vou usar a lei de Hooke generalizada para um sólido isotrópico linear na forma que relaciona tensões e deformações componentes (forma das deformações):
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\bigr),
e as expressões análogas por permutação para \varepsilon_y e \varepsilon_z.
Explicando cada símbolo:
  • E é o módulo de Young (rigidez à tração/compressão uniaxial).
  • \nu é o coeficiente de Poisson (relação entre deformação lateral e longitudinal).
  • \sigma_i são as tensões normais (positivas em tensão convencionalmente).
  • \varepsilon_i são as deformações lineares nas direções x,y,z.
    Esta forma da lei de Hooke é uma fórmula padrão deduzida da linearidade e isotropia; ela diz que a deformação numa direção depende da tensão nessa direção e das tensões nas direções transversas, ponderadas por \nu.

Passo 3

Substituímos o estado hidrostático \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p na expressão de \varepsilon_x. Fazendo a substituição passo a passo:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(-p-\nu(-p- p)\bigr).
Simplificando os termos entre parênteses:
-p-\nu(-2p) = -p + 2\nu p = p(2\nu-1).
Portanto
\varepsilon_x=\frac{p(2\nu-1)}{E}.
Pelo problema (isotropia e simetria do carregamento) temos \varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_z.

Passo 4

A deformação volumétrica e é a soma das três deformações:
e=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=3\varepsilon_x.
Usando a expressão de \varepsilon_x do passo anterior:
e=3\cdot\frac{p(2\nu-1)}{E}=\frac{3p(2\nu-1)}{E}.
Agora isolamos p em função de e. Reorganizando:
p=\frac{E}{3(2\nu-1)}\,e.
Observação sobre sinais: 2\nu-1=-(1-2\nu), então podemos escrever também
p=-\frac{E}{3(1-2\nu)}\,e.
A forma mais utilizada na literatura é introduzir o módulo volumétrico (módulo de compressibilidade ou bulk modulus)
K=\frac{E}{3(1-2\nu)},
e então a relação entre pressão e deformação volumétrica fica
p=-K\,e.
Isto significa que, para pressão positiva (compressão), a soma das deformações e é negativa (redução de volume), e K>0.

Passo 5

Para reforçar (e porque é uma via muito usada em mecânica dos sólidos), apresento a derivação alternativa usando constantes de Lamé. A forma tensorial linear para tensões é
\sigma_{ij}=\lambda\,\delta_{ij}\,\varepsilon_{kk}+2\mu\,\varepsilon_{ij},
onde \lambda e \mu são constantes de Lamé, \delta_{ij} é o delta de Kronecker e \varepsilon_{kk}=e é a soma das deformações. No carregamento hidrostático \varepsilon_{ij}=\dfrac{e}{3}\delta_{ij}, daí
\sigma_{ij}=\left(\lambda+\frac{2\mu}{3}\right)e\,\delta_{ij}.
Como \sigma_{ij}=-p\,\delta_{ij}, segue
-p=\left(\lambda+\frac{2\mu}{3}\right)e.
Relacionando \lambda,\mu com E,\nu:
\mu=\frac{E}{2(1+\nu)},\qquad \lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}.
Fazendo as contas (substituição e simplificação) dá
\lambda+\frac{2\mu}{3}=\frac{E}{3(1-2\nu)}=K,
confirmando p=-K e com K igual a E/[3(1-2\nu)].

Passo 6

Discussão do intervalo fisicamente possível para \nu.
  • Para que o material seja estável (energia de deformação positiva definida) e para que os módulos G=\mu (módulo de cisalhamento) e K (módulo volumétrico) sejam positivos, precisamos: \mu=\frac{E}{2(1+\nu)}>0\quad\Rightarrow\quad 1+\nu>0\quad\Rightarrow\quad \nu>-1,
K=\frac{E}{3(1-2\nu)}>0\quad\Rightarrow\quad 1-2\nu>0\quad\Rightarrow\quad \nu<\tfrac{1}{2}.
  • Juntando as duas condições obtemos o intervalo fisicamente admissível
-1<\nu<\tfrac{1}{2}.
Interpretações e exemplos:
  • Se \nu\to\tfrac{1}{2} o corpo torna-se incompressível ( K\to\infty), comportamento típico de borrachas ideais.
  • Materiais comuns (metais, ligas) têm \nu entre 0 e 0,4 (por exemplo aço ≈ 0,3).
  • Valores negativos de \nu (materiais auxéticos) são possíveis ( \nu<0) e implicam que um corpo alarga lateralmente quando esticado longitudinalmente; porém \nu não pode ser menor que -1.

Resposta

p=-K\,e, com K=\dfrac{E}{3(1-2\nu)} (ou, equivalente, p=-\dfrac{E}{3(1-2\nu)}\,e).\nIntervalo fisicamente possível para \nu: -1<\nu<\tfrac{1}{2}.

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