Para um corpo linearmente elástico e isotrópico sujeito a um estado de tensão hidrostático,
e
, onde
denota pressão, mostre que
com
e
. Discute um intervalo fisicamente possível para o coeficiente de Poisson.
Passo 1
O enunciado dá um corpo linearmente elástico e isotrópico sujeito a um estado de tensão hidrostático. As informações fornecidas são:
onde
denota a pressão. Define-se a deformação volumétrica
O que se pede:
- Mostrar a relação entre pressão e deformação volumétrica na forma
com . - Discutir o intervalo fisicamente possível para o coeficiente de Poisson
.
Passo 2
Vou usar a lei de Hooke generalizada para um sólido isotrópico linear na forma que relaciona tensões e deformações componentes (forma das deformações):
e as expressões análogas por permutação para
e
.
Explicando cada símbolo:
Explicando cada símbolo:
-
é o módulo de Young (rigidez à tração/compressão uniaxial). -
é o coeficiente de Poisson (relação entre deformação lateral e longitudinal). -
são as tensões normais (positivas em tensão convencionalmente). -
são as deformações lineares nas direções .
Esta forma da lei de Hooke é uma fórmula padrão deduzida da linearidade e isotropia; ela diz que a deformação numa direção depende da tensão nessa direção e das tensões nas direções transversas, ponderadas por.
Passo 3
Substituímos o estado hidrostático
na expressão de
. Fazendo a substituição passo a passo:
Simplificando os termos entre parênteses:
Portanto
Pelo problema (isotropia e simetria do carregamento) temos
.
Passo 4
A deformação volumétrica
é a soma das três deformações:
Usando a expressão de
do passo anterior:
Agora isolamos
em função de
. Reorganizando:
Observação sobre sinais:
, então podemos escrever também
A forma mais utilizada na literatura é introduzir o módulo volumétrico (módulo de compressibilidade ou bulk modulus)
e então a relação entre pressão e deformação volumétrica fica
Isto significa que, para pressão positiva (compressão), a soma das deformações
é negativa (redução de volume), e
.
Passo 5
Para reforçar (e porque é uma via muito usada em mecânica dos sólidos), apresento a derivação alternativa usando constantes de Lamé. A forma tensorial linear para tensões é
onde
e
são constantes de Lamé,
é o delta de Kronecker e
é a soma das deformações. No carregamento hidrostático
, daí
Como
, segue
Relacionando
com
:
Fazendo as contas (substituição e simplificação) dá
confirmando
com
igual a
.
Passo 6
Discussão do intervalo fisicamente possível para
.
- Para que o material seja estável (energia de deformação positiva definida) e para que os módulos
(módulo de cisalhamento) e (módulo volumétrico) sejam positivos, precisamos:
- Juntando as duas condições obtemos o intervalo fisicamente admissível
Interpretações e exemplos:
- Se
o corpo torna-se incompressível ( ), comportamento típico de borrachas ideais. - Materiais comuns (metais, ligas) têm
entre e (por exemplo aço ≈ ). - Valores negativos de
(materiais auxéticos) são possíveis ( ) e implicam que um corpo alarga lateralmente quando esticado longitudinalmente; porém não pode ser menor que .