Uma chapa de aço com espessura L=2 c m e área A=23 \mathrm{~m}^{2}, separa dois ambientes mantidos com temperaturas diferentes.
A temperatura superficial da placa é \mathrm{T}_{1}=206^{\circ} \mathrm{C} de um lado e \mathrm{T}_{2}=37^{\circ} \mathrm{C}, do outro. A condutividade térmica do material (aço inoxidável) é k=18 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.
Determine o fluxo de calor q’ através da placa.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o fluxo de calor através de uma chapa plana de aço que separa dois ambientes com temperaturas diferentes. Dados fornecidos:
L=2\\ \text{cm},\qquad A=23\\ \mathrm{m^{2}},\qquad T_{1}=206^\circ\mathrm{C},\qquad T_{2}=37^\circ\mathrm{C},\qquad k=18\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
A pergunta é calcular o fluxo de calor q' através da placa. Também foi dada a área A, então vou calcular tanto o fluxo por unidade de área (densidade de fluxo térmico) quanto a taxa total de transferência de calor.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado com calma):
  • Para condução estacionária unidimensional através de uma parede plana e homogênea, a lei de Fourier diz que a densidade de fluxo de calor (fluxo por unidade de área) é proporcional ao gradiente de temperatura:
\mathbf{q}''=-k\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • \mathbf{q}'' é a densidade de fluxo térmico (W/m ^2), apontando no sentido do transporte de calor;
  • k é a condutividade térmica do material (W/(m·°C));
  • dT/dx é o gradiente de temperatura no interior da parede (°C/m).
  • Para uma placa plana com temperaturas conhecidas nas superfícies e condutividade constante, o gradiente é aproximadamente linear, então:
\mathbf{q}'' = -k\,\frac{T_{2}-T_{1}}{L} = k\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}.
Eu usei a forma k\,(T_{1}-T_{2})/L para obter a magnitude (positiva) do fluxo do lado quente para o frio.
  • A taxa total de calor (potência) atravessando a placa é:
\dot{Q}=\mathbf{q}''\cdot A.

Passo 3

Primeiro converto a espessura para metros:
L=2\\ \text{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
Calculo a diferença de temperatura:
\Delta T = T_{1}-T_{2}=206-37=169\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calculo da densidade de fluxo térmico \mathbf{q}'' usando a fórmula:
\mathbf{q}'' = k\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}.
Agora substituo os números passo a passo:
\frac{T_{1}-T_{2}}{L}=\frac{169}{0,02}=8450\\ \mathrm{^\circ C/m}.
\mathbf{q}''=18\times8450=152100\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Em notação em potência de 10:
\mathbf{q}''=1{,}521\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Calculo da taxa total de transferência de calor \dot{Q} multiplicando pela área:
\dot{Q}=\mathbf{q}''\cdot A=152100\times23=3498300\\ \mathrm{W}.
Em notação científica:
\dot{Q}=3{,}4983\times10^{6}\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox. }3{,}50\\ \mathrm{MW}).

Passo 6

Interpretação física e sinal:
  • A direção do fluxo é do lado mais quente para o mais frio, ou seja, da superfície com T_{1}=206^\circ\mathrm{C} para a com T_{2}=37^\circ\mathrm{C}.
  • As quantidades calculadas acima são magnitudes (positivas). Se eu colocasse o vetor \mathbf{q}'' com sinal, ele apontaria no sentido decrescente de x com sinal negativo conforme a convenção.

Resposta

\mathbf{q}''=1{,}521\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}
\dot{Q}=3{,}4983\times10^{6}\\ \mathrm{W}

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