Determine o diâmetro de um eixo maciço que deverá transmitir 200 HP a 3000 RPM e que será fabricado de um aço com \sigma esc =900 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o diâmetro do eixo maciço.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Potência transmitida: P = 200\\ \mathrm{HP}.
  • Velocidade de rotação: n = 3000\\ \mathrm{rpm}.
  • Tensão de escoamento do aço: \sigma_{\mathrm{esc}} = 900\\ \mathrm{MPa}.
Não há no enunciado fator de segurança ou critério explícito de escoamento; vou prosseguir calculando o diâmetro necessário para que a peça não exceda o escoamento (ou seja, sem fator de segurança adicional). No desenvolvimento a seguir eu explico as fórmulas usadas e as escolhas (critério de escoamento) passo a passo.

Passo 2

Converter as unidades e calcular o torque transmitido T.
Primeiro convertemos potência de cavalos-vapor para watts. Vou usar 1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}. Então:
P = 200\cdot 746 = 149\,200\\ \mathrm{W}.
A velocidade angular \omega em rad/s é dada por \omega = 2\pi\frac{n}{60}. Substituindo n=3000 obtenho:
\omega = 2\pi\frac{3000}{60} = 100\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Relação entre potência, torque e velocidade angular é
P = T\omega.
Isolando T:
T=\frac{P}{\omega}=\frac{149\,200}{100\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Faço a divisão numérica:
T \approx 474{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário didático: aqui eu converti tudo para o SI (watts, rad/s) para que o torque saia em \mathrm{N\cdot m}. No papel de prova faça essa sequência de conversões com calma para evitar erro de unidade.

Passo 3

Relembrando a fórmula de tensão por torção em eixo circular maciço.
Para um eixo circular maciço submetido a um torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio do eixo e J é o momento polar de inércia da seção. Para seção circular maciça de diâmetro d temos
c=\frac{d}{2},\qquad J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo em \tau_{\max}:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Explicação passo a passo: J tem dimensão L^{4}, T tem dimensão F\cdot L, dividindo obtemos F/L^{2} que é Pa — coerente com tensão. Esta é a fórmula que usaremos para relacionar torque e diâmetro.

Passo 4

Escolha do critério de escoamento e obtenção da tensão admissível de cisalhamento.
O enunciado fornece a tensão de escoamento em tração \sigma_{\mathrm{esc}}. Para conectar com cisalhamento puro (caso de torção), vou usar a teoria de von Mises (energia de distorção), que costuma ser recomendada para materiais dúcteis. Pelo critério de von Mises, para estado de cisalhamento puro a tensão de cisalhamento na superfície que causa escoamento é
\tau_{\mathrm{adm}}=\frac{\sigma_{\mathrm{esc}}}{\sqrt{3}}.
Explicando: o critério de von Mises transforma o estado de tensões em um “equivalente” de tração; para cisalhamento puro a relação entre a tensão de escoamento em tração e a tensão de cisalhamento crítica é \tau=\sigma/\sqrt{3}. Substituo o valor dado:
\tau_{\mathrm{adm}}=\frac{900\\ \mathrm{MPa}}{\sqrt{3}}=\frac{900\times 10^{6}}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{Pa}\approx 519{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Observação prática: se preferir o critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento), usaríamos \tau_{\mathrm{adm}}=\sigma_{\mathrm{esc}}/2=450\\ \mathrm{MPa}. Isso daria um diâmetro um pouco maior; eu explico o procedimento com von Mises, que é mais comum em cálculos de escoamento.

Passo 5

Igualar a tensão máxima por torção à tensão admissível e isolar d.
Usando \tau_{\max}=\tau_{\mathrm{adm}} temos:
\frac{16\,T}{\pi d^{3}}=\tau_{\mathrm{adm}}.
Isolando d^{3}:
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}.
Agora substituo T e \tau_{\mathrm{adm}} (em unidades SI):
d^{3}=\frac{16\cdot 474{,}9}{\pi\cdot 519{,}6\times 10^{6}}\\ \mathrm{m^{3}}.
Faço a conta numérica:
d^{3}\approx 4{,}6559\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
Tomo a raiz cúbica:
d \approx \bigl(4{,}6559\times 10^{-6}\bigr)^{1/3}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}01674\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Expressar o resultado em milímetros e comentar sobre fator de segurança.
Convertendo para milímetros:
d \approx 0{,}01674\\ \mathrm{m}=16{,}74\\ \mathrm{mm}\approx 16{,}7\\ \mathrm{mm}.
Comentário amigo e prático: esse valor foi obtido assumindo que projetamos justo até o escoamento (fator de segurança n=1) e usando o critério de von Mises. Em projeto real é imprescindível aplicar um fator de segurança (por exemplo n=1{,}5 ou n=2), considerar concentradores de tensão, rugosidade, carregamentos dinâmicos/fatigabilidade, e possíveis esforços combinados (flexão + torção). Se quisermos considerar um fator de segurança n contra o escoamento, basta dividir \tau_{\mathrm{adm}} por n e repetir o cálculo; por exemplo, com n=2 o diâmetro sobe para cerca de 21{,}0\\ \mathrm{mm}.

Resposta

d = 16{,}7\\ \mathrm{mm}

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