Determine o diâmetro de um eixo maciço que deverá transmitir 200 HP a 3000 RPM e que será fabricado de um aço com
esc
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o diâmetro do eixo maciço.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- Potência transmitida:
. - Velocidade de rotação:
. - Tensão de escoamento do aço:
.
Não há no enunciado fator de segurança ou critério explícito de escoamento; vou prosseguir calculando o diâmetro necessário para que a peça não exceda o escoamento (ou seja, sem fator de segurança adicional). No desenvolvimento a seguir eu explico as fórmulas usadas e as escolhas (critério de escoamento) passo a passo.
Passo 2
Converter as unidades e calcular o torque transmitido
.
Primeiro convertemos potência de cavalos-vapor para watts. Vou usar . Então:
Primeiro convertemos potência de cavalos-vapor para watts. Vou usar
A velocidade angular
em rad/s é dada por
. Substituindo
obtenho:
Relação entre potência, torque e velocidade angular é
Isolando
:
Faço a divisão numérica:
Comentário didático: aqui eu converti tudo para o SI (watts, rad/s) para que o torque saia em
. No papel de prova faça essa sequência de conversões com calma para evitar erro de unidade.
Passo 3
Relembrando a fórmula de tensão por torção em eixo circular maciço.
Para um eixo circular maciço submetido a um torque , a tensão de cisalhamento máxima na superfície é
Para um eixo circular maciço submetido a um torque
onde
é o raio do eixo e
é o momento polar de inércia da seção. Para seção circular maciça de diâmetro
temos
Substituindo em
:
Explicação passo a passo:
tem dimensão
,
tem dimensão
, dividindo obtemos
que é Pa — coerente com tensão. Esta é a fórmula que usaremos para relacionar torque e diâmetro.
Passo 4
Escolha do critério de escoamento e obtenção da tensão admissível de cisalhamento.
O enunciado fornece a tensão de escoamento em tração . Para conectar com cisalhamento puro (caso de torção), vou usar a teoria de von Mises (energia de distorção), que costuma ser recomendada para materiais dúcteis. Pelo critério de von Mises, para estado de cisalhamento puro a tensão de cisalhamento na superfície que causa escoamento é
O enunciado fornece a tensão de escoamento em tração
Explicando: o critério de von Mises transforma o estado de tensões em um “equivalente” de tração; para cisalhamento puro a relação entre a tensão de escoamento em tração e a tensão de cisalhamento crítica é
. Substituo o valor dado:
Observação prática: se preferir o critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento), usaríamos
. Isso daria um diâmetro um pouco maior; eu explico o procedimento com von Mises, que é mais comum em cálculos de escoamento.
Passo 5
Igualar a tensão máxima por torção à tensão admissível e isolar
.
Usando temos:
Usando
Isolando
:
Agora substituo
e
(em unidades SI):
Faço a conta numérica:
Tomo a raiz cúbica:
Passo 6
Expressar o resultado em milímetros e comentar sobre fator de segurança.
Convertendo para milímetros:
Convertendo para milímetros:
Comentário amigo e prático: esse valor foi obtido assumindo que projetamos justo até o escoamento (fator de segurança
) e usando o critério de von Mises. Em projeto real é imprescindível aplicar um fator de segurança (por exemplo
ou
), considerar concentradores de tensão, rugosidade, carregamentos dinâmicos/fatigabilidade, e possíveis esforços combinados (flexão + torção). Se quisermos considerar um fator de segurança
contra o escoamento, basta dividir
por
e repetir o cálculo; por exemplo, com
o diâmetro sobe para cerca de
.