( 0,50 pontos) Dadas duas ondas de matéria representadas pelas respectivas funções de onda:
e
. Mostre que uma combinação linear dessas duas ondas. Ou seja:
gerará uma onda de matéria descrita pela seguinte função de onda:
Passo 1
O enunciado dá duas ondas de matéria e pede para somá‑las e mostrar que a soma produz uma onda com formato de portadora multiplicada por um envelope. As informações dadas são:
- A primeira função de onda é
. - A segunda função de onda é
. - A combinação linear é
.
O que se pede: mostrar que
pode ser escrita na forma
ou, quando apropriado, explicar a aproximação necessária para obter essa forma.
Passo 2
Apresentar a identidade trigonométrica que vamos usar e explicar o que ela faz.
A identidade soma‑para‑produto que usamos é:
O que esta fórmula diz, em palavras: a soma de duas senóides de argumentos
e
pode ser escrita como produto de uma senóide com argumento médio
(a portadora) e um cosseno com argumento meio‑diferença
(o envelope). Esta identidade é obtida a partir das fórmulas de soma para seno e cosseno, mas aqui vamos aplicá‑la diretamente.
Passo 3
Definir os argumentos
e
correspondentes às duas ondas e calcular
e
.
Definimos
Calculemos a diferença
entre
e
:
Agora as médias:
Passo 4
Aplicar a identidade soma‑para‑produto para reescrever
.
Usando a identidade com
e
acima:
Substituindo os resultados do passo anterior:
Esta é uma forma exata: um cosseno com argumento proporcional à diferença de números de onda/frequências multiplicando uma senóide com argumento igual à média dos dois argumentos originais.
Passo 5
Explicar a aproximação usada para obter a forma desejada e por que ela é fisicamente aceitável (batimentos).
Observe que a senóide no fator de portadora tem argumento
Se
e
forem pequenos (caso típico de “duas ondas de freqüência/próximas” que geram batimentos), o termo adicional
é pequeno comparado a
. Para parâmetros pequenos podemos usar a aproximação de pequena variação no argumento da senoide:
Tomando
, obtemos a aproximação
Substituindo essa aproximação na forma exata do passo 4 dá:
Finalmente, escrevendo
, obtemos a forma desejada:
Comentário didático rápido: a expressão resultante tem a interpretação física clássica de “batimentos”: o cosseno lento (envelope) com argumentos proporcionais às diferenças
modula a senóide rápida (portadora) de número de onda
e frequência
. A aproximação feita é válida quando
e
são muito menores que
e
, respectivamente — situação comum quando somamos duas ondas muito próximas.