( 0,50 pontos) Dadas duas ondas de matéria representadas pelas respectivas funções de onda: \Psi_{1}(x, t)=\sin [2 \pi(\kappa x-\nu t)] e \Psi_{2}(x, t)=\sin \{2 \pi[(\kappa+d \kappa) x-(\nu+d \nu) t]\}. Mostre que uma combinação linear dessas duas ondas. Ou seja:
\Psi(x, t)=\Psi_{1}(x, t)+\Psi_{2}(x, t)
gerará uma onda de matéria descrita pela seguinte função de onda:
\Psi(x, t)=2 \cos \left\{2 \pi\left[\frac{d \kappa}{2} x-\frac{d \nu}{2} t\right] \sin [2 \pi(\kappa x-\nu t)]\right\}

Passo 1

O enunciado dá duas ondas de matéria e pede para somá‑las e mostrar que a soma produz uma onda com formato de portadora multiplicada por um envelope. As informações dadas são:
  • A primeira função de onda é \Psi_{1}(x,t)=\sin\bigl[2\pi(\kappa x-\nu t)\bigr].
  • A segunda função de onda é \Psi_{2}(x,t)=\sin\bigl\{2\pi\bigl[(\kappa+d\kappa)x-(\nu+d\nu)t\bigr]\bigr\}.
  • A combinação linear é \Psi(x,t)=\Psi_{1}(x,t)+\Psi_{2}(x,t).
O que se pede: mostrar que \Psi(x,t) pode ser escrita na forma
\Psi(x,t)=2\cos\!\left\{2\pi\!\left[\frac{d\kappa}{2}x-\frac{d\nu}{2}t\right]\right\}\sin\!\bigl[2\pi(\kappa x-\nu t)\bigr],
ou, quando apropriado, explicar a aproximação necessária para obter essa forma.

Passo 2

Apresentar a identidade trigonométrica que vamos usar e explicar o que ela faz.
A identidade soma‑para‑produto que usamos é:
\sin U + \sin V = 2\sin\!\left(\frac{U+V}{2}\right)\cos\!\left(\frac{U-V}{2}\right).
O que esta fórmula diz, em palavras: a soma de duas senóides de argumentos U e V pode ser escrita como produto de uma senóide com argumento médio \tfrac{U+V}{2} (a portadora) e um cosseno com argumento meio‑diferença \tfrac{U-V}{2} (o envelope). Esta identidade é obtida a partir das fórmulas de soma para seno e cosseno, mas aqui vamos aplicá‑la diretamente.

Passo 3

Definir os argumentos U e V correspondentes às duas ondas e calcular \tfrac{U+V}{2} e \tfrac{U-V}{2}.
Definimos
U = 2\pi(\kappa x-\nu t), \qquad V = 2\pi\bigl[(\kappa+d\kappa)x-(\nu+d\nu)t\bigr].
Calculemos a diferença \Delta entre V e U:
\Delta \equiv V-U = 2\pi\bigl(d\kappa\,x - d\nu\,t\bigr).
Agora as médias:
\frac{U+V}{2} = \frac{2U+\Delta}{2} = U + \frac{\Delta}{2} = 2\pi(\kappa x-\nu t) + \pi\bigl(d\kappa\,x - d\nu\,t\bigr),
\frac{U-V}{2} = -\frac{\Delta}{2} = -\pi\bigl(d\kappa\,x - d\nu\,t\bigr).

Passo 4

Aplicar a identidade soma‑para‑produto para reescrever \Psi(x,t).
Usando a identidade com U e V acima:
\Psi(x,t)=\sin U + \sin V = 2\sin\!\left(\frac{U+V}{2}\right)\cos\!\left(\frac{U-V}{2}\right).
Substituindo os resultados do passo anterior:
\Psi(x,t)=2\sin\!\Bigl(2\pi(\kappa x-\nu t)+\pi(d\kappa\,x - d\nu\,t)\Bigr)\cos\!\Bigl(\pi(d\kappa\,x - d\nu\,t)\Bigr).
Esta é uma forma exata: um cosseno com argumento proporcional à diferença de números de onda/frequências multiplicando uma senóide com argumento igual à média dos dois argumentos originais.

Passo 5

Explicar a aproximação usada para obter a forma desejada e por que ela é fisicamente aceitável (batimentos).
Observe que a senóide no fator de portadora tem argumento
2\pi(\kappa x-\nu t) + \pi(d\kappa\,x - d\nu\,t) = 2\pi\bigl(\kappa x-\nu t\bigr) + 2\pi\!\left(\frac{d\kappa}{2}x-\frac{d\nu}{2}t\right).
Se d\kappa e d\nu forem pequenos (caso típico de “duas ondas de freqüência/próximas” que geram batimentos), o termo adicional
\,2\pi\!\left(\tfrac{d\kappa}{2}x-\tfrac{d\nu}{2}t\right)\, é pequeno comparado a 2\pi(\kappa x-\nu t). Para parâmetros pequenos podemos usar a aproximação de pequena variação no argumento da senoide:
\sin\!\bigl(2\pi(\kappa x-\nu t)+\varepsilon\bigr)\approx\sin\!\bigl(2\pi(\kappa x-\nu t)\bigr) \qquad\text{quando }\varepsilon\text{ é pequeno.}é
Tomando \varepsilon = \pi(d\kappa\,x - d\nu\,t)=2\pi\!\left(\tfrac{d\kappa}{2}x-\tfrac{d\nu}{2}t\right), obtemos a aproximação
\sin\!\Bigl(2\pi(\kappa x-\nu t)+\pi(d\kappa\,x - d\nu\,t)\Bigr) \approx \sin\!\bigl(2\pi(\kappa x-\nu t)\bigr).
Substituindo essa aproximação na forma exata do passo 4 dá:
\Psi(x,t)\approx 2\cos\!\Bigl(\pi(d\kappa\,x - d\nu\,t)\Bigr)\sin\!\bigl(2\pi(\kappa x-\nu t)\bigr).
Finalmente, escrevendo \pi(d\kappa\,x - d\nu\,t)=2\pi\!\left(\tfrac{d\kappa}{2}x-\tfrac{d\nu}{2}t\right), obtemos a forma desejada:
\Psi(x,t)\approx 2\cos\!\left\{2\pi\!\left[\frac{d\kappa}{2}x-\frac{d\nu}{2}t\right]\right\} \sin\!\bigl[2\pi(\kappa x-\nu t)\bigr].
Comentário didático rápido: a expressão resultante tem a interpretação física clássica de “batimentos”: o cosseno lento (envelope) com argumentos proporcionais às diferenças d\kappa,d\nu modula a senóide rápida (portadora) de número de onda \kappa e frequência \nu. A aproximação feita é válida quando d\kappa e d\nu são muito menores que \kappa e \nu, respectivamente — situação comum quando somamos duas ondas muito próximas.

Resposta

\Psi(x,t)\approx 2\cos\!\left\{2\pi\!\left[\frac{d\kappa}{2}x-\frac{d\nu}{2}t\right]\right\}\sin\!\bigl[2\pi(\kappa x-\nu t)\bigr]

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