Temos uma carga Q distribuída homogeneamente na superfície de uma esfera condutora de raio
com densidade de carga superficial
. Colocamos esta esfera em contato (via um fio condutor) com outra esfera condutora neutra de raio
. Calcule
a) o valor da carga
?
b) a densidade de carga final de cada esfera assumindo que estas são iguais?
c) Qual a quantidade de carga final sobre cada uma das esferas?
a) o valor da carga
b) a densidade de carga final de cada esfera assumindo que estas são iguais?
c) Qual a quantidade de carga final sobre cada uma das esferas?
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Raio da esfera carregada:
. - Densidade de carga superficial inicial da esfera grande:
. - Colocamos essa esfera em contato, por um fio condutor, com outra esfera condutora neutra de raio
.
As perguntas são:
(a) Qual o valor da carga totalinicialmente presente na esfera grande?
(b) Supondo que, após o contato, as densidades de carga superficiais finais de ambas as esferas sejam iguais, qual é essa densidade de carga final?
(c) Qual a quantidade de carga final sobre cada uma das esferas?
Observações úteis (dados que vou usar depois):
- Converter unidades quando necessário (por exemplo
para ). - Área de uma esfera de raio
é .
Passo 2
Converter unidades de
para
.
Lembrete: . Logo, para passar de
para
multiplica-se por
. Assim:
Lembrete:
Comentário didático: sempre confirme unidades antes de multiplicar por áreas — é a fonte mais comum de erro.
Passo 3
Calcular a carga total inicial
da esfera grande usando
e
. Primeiro passar o raio para metros:
Área da esfera grande:
Portanto a carga total inicial é
Se quiser o valor numérico:
Comentário didático: multiplicar densidade superficial pela área dá carga total — é a definição de densidade superficial.
Passo 4
Determinar as áreas das duas esferas (vai ser útil para distribuir carga). O raio da pequena é
, então em metros:
Área da pequena:
Área total das duas esferas:
Comentário didático: aqui estou explícito com as áreas para poder dividir a carga caso assumamos densidades iguais.
Passo 5
Inspirando a hipótese do enunciado: “assumindo que estas são iguais” — ou seja, assumir que, depois do contato, a densidade de carga superficial final
é a mesma em ambas as esferas. Nesse caso a carga total
se reparte sobre a área total
de modo que
Substituindo os valores já obtidos (usei que
e
, o fator
cancela):
Portanto
Conversão para
(usando
):
Comentário didático: assumir densidades iguais é uma hipótese adicional do enunciado — fisicamente, com esferas conectadas e bem separadas, o equilíbrio real é de potencial igual, não necessariamente de densidade igual. Mas aqui aplicamos exatamente a hipótese pedida.
Passo 6
Calcular as cargas finais em cada esfera sob a hipótese
comum. Usa-se
.
Para a esfera maior:
Valor numérico:
Para a esfera menor:
Valor numérico:
Verificação rápida:
, como deve ser.
Comentário didático: note que, com densidade igual, a partição de carga é proporcional às áreas; isso nos levou a frações simples (16/17 e 1/17) porque as áreas tinham razão simples.
Resposta
(a)
(b)
(c)