Temos uma carga Q distribuída homogeneamente na superfície de uma esfera condutora de raio \mathrm{R}=10 \mathrm{~cm} com densidade de carga superficial \sigma= 1 x 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{mm}^{2}. Colocamos esta esfera em contato (via um fio condutor) com outra esfera condutora neutra de raio r=R / 4. Calcule
a) o valor da carga Q ?
b) a densidade de carga final de cada esfera assumindo que estas são iguais?
c) Qual a quantidade de carga final sobre cada uma das esferas?

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Raio da esfera carregada: R=10\\ \text{cm}.
  • Densidade de carga superficial inicial da esfera grande: \sigma=1\times10^{-6}\\ \text{C}/\text{mm}^2.
  • Colocamos essa esfera em contato, por um fio condutor, com outra esfera condutora neutra de raio r=R/4.
    As perguntas são:
    (a) Qual o valor da carga total Q inicialmente presente na esfera grande?
    (b) Supondo que, após o contato, as densidades de carga superficiais finais de ambas as esferas sejam iguais, qual é essa densidade de carga final?
    (c) Qual a quantidade de carga final sobre cada uma das esferas?
Observações úteis (dados que vou usar depois):
  • Converter unidades quando necessário (por exemplo \text{mm}^2 para \text{m}^2).
  • Área de uma esfera de raio a é 4\pi a^{2}.

Passo 2

Converter unidades de \sigma para \text{C}/\text{m}^2.
Lembrete: 1\\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\\ \text{m}^2. Logo, para passar de \text{C}/\text{mm}^2 para \text{C}/\text{m}^2 multiplica-se por 10^{6}. Assim:
\sigma = 1\times10^{-6}\\ \frac{\text{C}}{\text{mm}^2} = 1\times10^{-6}\times10^{6}\\ \frac{\text{C}}{\text{m}^2} =1\\ \frac{\text{C}}{\text{m}^2}.
Comentário didático: sempre confirme unidades antes de multiplicar por áreas — é a fonte mais comum de erro.

Passo 3

Calcular a carga total inicial Q da esfera grande usando Q=\sigma\cdot A e A=4\pi R^2. Primeiro passar o raio para metros:
R=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}.
Área da esfera grande:
A_1 = 4\pi R^{2} = 4\pi(0{,}10)^{2}=4\pi\cdot0{,}01=0{,}04\pi\\ \text{m}^2.
Portanto a carga total inicial é
Q = \sigma A_1 = 1\cdot 0{,}04\pi = 0{,}04\pi\\ \text{C}.
Se quiser o valor numérico:
Q \approx 0{,}04\cdot 3{,}14159265 \approx 0{,}1256637\\ \text{C}.
Comentário didático: multiplicar densidade superficial pela área dá carga total — é a definição de densidade superficial.

Passo 4

Determinar as áreas das duas esferas (vai ser útil para distribuir carga). O raio da pequena é r=R/4, então em metros:
r = \frac{0{,}10}{4}=0{,}025\\ \text{m}.
Área da pequena:
A_2 = 4\pi r^{2} = 4\pi (0{,}025)^{2} = 4\pi\cdot 0{,}000625 = 0{,}0025\pi\\ \text{m}^2.
Área total das duas esferas:
A_{\text{tot}} = A_1 + A_2 = 0{,}04\pi + 0{,}0025\pi = 0{,}0425\pi\\ \text{m}^2.
Comentário didático: aqui estou explícito com as áreas para poder dividir a carga caso assumamos densidades iguais.

Passo 5

Inspirando a hipótese do enunciado: “assumindo que estas são iguais” — ou seja, assumir que, depois do contato, a densidade de carga superficial final \sigma_{\text{f}} é a mesma em ambas as esferas. Nesse caso a carga total Q se reparte sobre a área total A_{\text{tot}} de modo que
\sigma_{\text{f}} = \frac{Q}{A_{\text{tot}}}.
Substituindo os valores já obtidos (usei que Q=0{,}04\pi e A_{\text{tot}}=0{,}0425\pi, o fator \pi cancela):
\sigma_{\text{f}} = \frac{0{,}04\pi}{0{,}0425\pi} = \frac{0{,}04}{0{,}0425} = \frac{16}{17}.
Portanto
\sigma_{\text{f}} = \frac{16}{17}\\ \frac{\text{C}}{\text{m}^2}\approx 0{,}94117647\\ \frac{\text{C}}{\text{m}^2}.
Conversão para \text{C}/\text{mm}^2 (usando 1\\ \text{C}/\text{m}^2 = 10^{-6}\\ \text{C}/\text{mm}^2):
\sigma_{\text{f}} \approx 0{,}94117647\times10^{-6}\\ \frac{\text{C}}{\text{mm}^2} \approx 9{,}4117647\times10^{-7}\\ \frac{\text{C}}{\text{mm}^2}.
Comentário didático: assumir densidades iguais é uma hipótese adicional do enunciado — fisicamente, com esferas conectadas e bem separadas, o equilíbrio real é de potencial igual, não necessariamente de densidade igual. Mas aqui aplicamos exatamente a hipótese pedida.

Passo 6

Calcular as cargas finais em cada esfera sob a hipótese \sigma_{\text{f}} comum. Usa-se Q_i = \sigma_{\text{f}} A_i.
Para a esfera maior:
Q_1 = \sigma_{\text{f}} A_1 = \frac{16}{17}\cdot 0{,}04\pi = \frac{16\pi}{425}\\ \text{C}.
Valor numérico:
Q_1 \approx \frac{16}{17}\cdot 0{,}125663706\dots \approx 0{,}11827114\\ \text{C}.
Para a esfera menor:
Q_2 = \sigma_{\text{f}} A_2 = \frac{16}{17}\cdot 0{,}0025\pi = \frac{\pi}{425}\\ \text{C}.
Valor numérico:
Q_2 \approx \frac{1}{17}\cdot 0{,}125663706\dots \approx 0{,}0073925657\\ \text{C}.
Verificação rápida: Q_1+Q_2 = 0{,}11827114 + 0{,}0073925657 \approx 0{,}125663706 \approx Q, como deve ser.
Comentário didático: note que, com densidade igual, a partição de carga é proporcional às áreas; isso nos levou a frações simples (16/17 e 1/17) porque as áreas tinham razão simples.

Resposta

(a) Q = 0{,}04\pi\\ \text{C} = \dfrac{\pi}{25}\\ \text{C} \approx 0{,}1256637\\ \text{C}
(b) \sigma_{\text{final}} = \dfrac{16}{17}\\ \dfrac{\text{C}}{\text{m}^2} \approx 0{,}94117647\\ \dfrac{\text{C}}{\text{m}^2} = 9{,}4117647\times10^{-7}\\ \dfrac{\text{C}}{\text{mm}^2}
(c) Q_{\text{esfera maior}} = \dfrac{16\pi}{425}\\ \text{C} \approx 0{,}11827114\\ \text{C}
Q_{\text{esfera menor}} = \dfrac{\pi}{425}\\ \text{C} \approx 0{,}0073925657\\ \text{C}

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