Temos duas esferas, dielétricas de materiais distintos, sendo que uma delas, de raio 1 cm , esta homogeneamente carregada com carga \mathrm{Q}=-2 \mathrm{C} e a outra, de raio 2 cm , encontra-se inicialmente neutra. São colocadas em contato. Assumindo que após a redistribuição de carga a densidade volumétrica de carga da primeira esfera é o dobro da densidade volumétrica de carga da segunda calcule:
a) As cargas individuais e as respectivas densidades volumétricas de carga.
b) Qual a quantidade de elétrons excedentes em cada esfera necessários para gerar tais cargas.

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede):
  • Duas esferas dielétricas (isolantes), com cargas e tamanhos:
    • Esfera 1: raio r_1 = 1\\ \text{cm} = 0,01\\ \mathrm{m} e carga inicial Q_{\text{total}} = Q_{1,\text{inicial}} = -2\\ \mathrm{C}.
    • Esfera 2: raio r_2 = 2\\ \text{cm} = 0,02\\ \mathrm{m} e carga inicial Q_{2,\text{inicial}} = 0\\ \mathrm{C} (neutra).
  • Elas são colocadas em contato e, após redistribuição, ficou conhecido que a densidade volumétrica de carga da primeira esfera é o dobro da da segunda:
    • \rho_1 = 2\,\rho_2.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar as cargas finais Q_1 e Q_2 e as densidades volumétricas \rho_1 e \rho_2.
    (b) Calcular a quantidade de elétrons excedentes em cada esfera que correspondem a essas cargas finais.

Passo 2

Conservação de carga e relação carga–densidade (revisão didática).
  • A carga total é conservada ao colocar as esferas em contato (não há fuga para o ambiente no enunciado). Portanto: Q_1 + Q_2 = Q_{\text{total}} = -2\\ \mathrm{C}.Aqui Q_1 e Q_2 são as cargas finais de cada esfera.
  • Relação entre carga, densidade volumétrica e volume: para distribuição volumétrica uniforme, Q = \rho \, V,onde Q é a carga total da esfera, \rho é a densidade volumétrica de carga (unidade \mathrm{C/m^3}) e V é o volume da esfera.
  • Volume de uma esfera (fórmula): V = \frac{4}{3}\pi r^{3},onde r é o raio da esfera. Vou usar isso para obter V_1 e V_2.

Passo 3

Calcular os volumes das esferas e a relação entre eles.
  • Volume da esfera 1: V_1=\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}=\frac{4}{3}\pi (0,01)^{3}=\frac{4}{3}\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume da esfera 2: V_2=\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}=\frac{4}{3}\pi (0,02)^{3}=\frac{4}{3}\pi\times8\times10^{-6}=8\,V_1.Observação útil: como r_2=2r_1, o volume da segunda é 2^{3}=8 vezes o da primeira. Isso simplifica muito as contas.

Passo 4

Escrever as equações usando \rho_1 = 2\rho_2 e a conservação de carga, e resolver algebraicamente (passo a passo mamão com açúcar).
  • Escrevo Q_1 e Q_2 em função de \rho_2 e V_1: Q_1=\rho_1 V_1=(2\rho_2)V_1=2\rho_2 V_1,
Q_2=\rho_2 V_2=\rho_2(8V_1)=8\rho_2 V_1.
  • Pela conservação de carga: Q_1+Q_2=2\rho_2 V_1+8\rho_2 V_1=10\rho_2 V_1= -2\\ \mathrm{C}.Assim: \rho_2 V_1 = \frac{-2}{10} = -0,2\\ \mathrm{C}.
  • Agora obtenho Q_1 e Q_2 facilmente: Q_1 = 2\rho_2 V_1 = 2\cdot(-0,2) = -0,4\\ \mathrm{C},
Q_2 = 8\rho_2 V_1 = 8\cdot(-0,2) = -1,6\\ \mathrm{C}.
Comentário rápido: a soma -0,4+(-1,6)=-2\\ \mathrm{C} confirma a conservação.

Passo 5

Calcular as densidades volumétricas \rho_1 e \rho_2 explicitamente (usar V_1 para expressões e, depois, valores numéricos).
  • De \rho_2 V_1 = -0,2 temos: \rho_2 = \frac{-0,2}{V_1}.Como Q_1 = -0,4 e Q_2 = -1,6, também vale \rho_1 = \frac{Q_1}{V_1}=\frac{-0,4}{V_1},\qquad \rho_2 = \frac{Q_2}{V_2}=\frac{-1,6}{8V_1}=\frac{-0,2}{V_1}.
  • Agora um valor numérico para V_1: V_1=\frac{4}{3}\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 4,18879\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcular numericamente: \rho_2=\frac{-0,2}{4,18879\times10^{-6}}\approx -4,7746\times10^{4}\\ \mathrm{C/m^{3}},
\rho_1=2\rho_2\approx -9,5493\times10^{4}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
(a ordem de grandeza é \sim 10^{4}\\ \mathrm{C/m^{3}}; os sinais negativos indicam excesso de cargas negativas.)

Passo 6

Calcular o número de elétrons excedentes em cada esfera (explicando a ideia).
  • Ideia: cada elétron tem carga elétrica elementar de magnitude e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.Se uma esfera tem carga negativa Q<0, o número de elétrons excedentes é N = \dfrac{|Q|}{e}. Esse valor geralmente é enorme.
  • Calcular para cada esfera: N_1=\frac{|Q_1|}{e}=\frac{0,4}{1,602176634\times10^{-19}}\approx 2,4966\times10^{18}\\ \text{elétrons},é
N_2=\frac{|Q_2|}{e}=\frac{1,6}{1,602176634\times10^{-19}}\approx 9,9866\times10^{18}\\ \text{elétrons}.é
  • Verificação rápida: N_1+N_2\approx 1,2483\times10^{19} elétrons a mais no sistema, que corresponde a uma carga total (0,4+1,6)=2,0\\ \mathrm{C} de excesso negativo, como esperado.

Resposta

(a) Q_1 = -0,4\\ \mathrm{C}, \rho_1 \approx -9,5493\times10^{4}\\ \mathrm{C/m^{3}}
(a) Q_2 = -1,6\\ \mathrm{C}, \rho_2 \approx -4,7746\times10^{4}\\ \mathrm{C/m^{3}}
(b) Número de elétrons excedentes: N_1 \approx 2,4966\times10^{18} elétrons (esfera 1)
(b) N_2 \approx 9,9866\times10^{18} elétrons (esfera 2)

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