Temos duas esferas, dielétricas de materiais distintos, sendo que uma delas, de raio 1 cm , esta homogeneamente carregada com carga
e a outra, de raio 2 cm , encontra-se inicialmente neutra. São colocadas em contato. Assumindo que após a redistribuição de carga a densidade volumétrica de carga da primeira esfera é o dobro da densidade volumétrica de carga da segunda calcule:
a) As cargas individuais e as respectivas densidades volumétricas de carga.
b) Qual a quantidade de elétrons excedentes em cada esfera necessários para gerar tais cargas.
a) As cargas individuais e as respectivas densidades volumétricas de carga.
b) Qual a quantidade de elétrons excedentes em cada esfera necessários para gerar tais cargas.
Passo 1
O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede):
- Duas esferas dielétricas (isolantes), com cargas e tamanhos:
- Esfera 1: raio
e carga inicial . - Esfera 2: raio
e carga inicial (neutra).
- Esfera 1: raio
- Elas são colocadas em contato e, após redistribuição, ficou conhecido que a densidade volumétrica de carga da primeira esfera é o dobro da da segunda:
-
.
-
- O enunciado pede:
(a) Determinar as cargas finaise e as densidades volumétricas e .
(b) Calcular a quantidade de elétrons excedentes em cada esfera que correspondem a essas cargas finais.
Passo 2
Conservação de carga e relação carga–densidade (revisão didática).
- A carga total é conservada ao colocar as esferas em contato (não há fuga para o ambiente no enunciado). Portanto:
Aqui e são as cargas finais de cada esfera. - Relação entre carga, densidade volumétrica e volume: para distribuição volumétrica uniforme,
onde é a carga total da esfera, é a densidade volumétrica de carga (unidade ) e é o volume da esfera. - Volume de uma esfera (fórmula):
onde é o raio da esfera. Vou usar isso para obter e .
Passo 3
Calcular os volumes das esferas e a relação entre eles.
- Volume da esfera 1:
- Volume da esfera 2:
Observação útil: como , o volume da segunda é vezes o da primeira. Isso simplifica muito as contas.
Passo 4
Escrever as equações usando
e a conservação de carga, e resolver algebraicamente (passo a passo mamão com açúcar).
- Escrevo
e em função de e :
- Pela conservação de carga:
Assim: - Agora obtenho
e facilmente:
Comentário rápido: a soma
confirma a conservação.
Passo 5
Calcular as densidades volumétricas
e
explicitamente (usar
para expressões e, depois, valores numéricos).
- De
temos: Como e , também vale - Agora um valor numérico para
: - Calcular numericamente:
(a ordem de grandeza é
; os sinais negativos indicam excesso de cargas negativas.)
Passo 6
Calcular o número de elétrons excedentes em cada esfera (explicando a ideia).
- Ideia: cada elétron tem carga elétrica elementar de magnitude
Se uma esfera tem carga negativa , o número de elétrons excedentes é . Esse valor geralmente é enorme. - Calcular para cada esfera:
- Verificação rápida:
elétrons a mais no sistema, que corresponde a uma carga total de excesso negativo, como esperado.
Resposta
(a)
,
(a) ,
(a)
(b) Número de elétrons excedentes:
elétrons (esfera 1)
(b) elétrons (esfera 2)
(b)