(50 pontos) O rotor de uma máquina gira inicialmente a
. No instante
, o rotor passa a sofrer a ação do torque
, com o tempo (
) medido em segundos e o torque (
), em
. O momento de inércia do rotor em relação ao eixo de rotação vale
ton
. Calcule a velocidade do rotor (em rpm) no instante
.
Passo 1
O enunciado pede a velocidade do rotor, em rpm, no instante
. As informações fornecidas são:
- velocidade inicial:
; - torque aplicado (em função do tempo):
, com em segundos; - momento de inércia:
.
Observação sobre unidades: vou assumir que
é tonelada métrica, ou seja
. Converti
para
no passo seguinte.
Passo 2
Converter o momento de inércia para unidades SI (
):
Passo 3
Converter a velocidade inicial de
para
. A relação é
. Então
Calculando numericamente:
Passo 4
Lembrando a relação entre torque e aceleração angular: o torque líquido é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular,
onde
é a aceleração angular e
a velocidade angular. Como o enunciado fornece o torque externo e não menciona outros torques, usaremos
.
Daí
Integrando de
a
obtemos
Passo 5
Substituir
na integral:
Calcular a integral exponencial:
Logo,
Passo 6
Substituir
e calcular o incremento em
:
Dividindo por
:
Para
calcule
. Usando
,
Portanto o acréscimo em velocidade angular é
Passo 7
Somar ao valor inicial:
Converter de volta para
usando
:
Calculando numericamente: