(50 pontos) O rotor de uma máquina gira inicialmente a 92,3 \mathrm{rpm}. No instante t=0, o rotor passa a sofrer a ação do torque \tau_{\operatorname{ext}_{\omega}}=75 \times 10^{6} e^{-0,3 t}, com o tempo ( t ) medido em segundos e o torque ( \tau_{\operatorname{ext}_{\omega}} ), em \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}. O momento de inércia do rotor em relação ao eixo de rotação vale I=80000 ton \cdot \mathrm{m}^{2}. Calcule a velocidade do rotor (em rpm) no instante t=12 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do rotor, em rpm, no instante t=12\\ \mathrm{s}. As informações fornecidas são:
  • velocidade inicial: \,92{,}3\\ \mathrm{rpm};
  • torque aplicado (em função do tempo): \displaystyle \tau_{\operatorname{ext}_{\omega}}(t)=75\times10^{6}e^{-0,3t}\\ \mathrm{N\cdot m}, com t em segundos;
  • momento de inércia: I=80000\\ \text{ton}\cdot\mathrm{m}^{2}.
Observação sobre unidades: vou assumir que \text{ton} é tonelada métrica, ou seja 1\\ \text{ton}=1000\\ \mathrm{kg}. Converti I para \mathrm{kg\cdot m^{2}} no passo seguinte.

Passo 2

Converter o momento de inércia para unidades SI ( \mathrm{kg\cdot m^{2}}):
I = 80000\\ \text{ton}\cdot\mathrm{m^{2}} = 80000\times 1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} = 8{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 3

Converter a velocidade inicial de \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s}. A relação é \displaystyle 1\\ \mathrm{rpm}=\frac{2\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s}. Então
\omega(0)=92{,}3\\ \mathrm{rpm} = 92{,}3\cdot\frac{2\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s} = 92{,}3\cdot\frac{\pi}{30}\\ \mathrm{rad/s}.
Calculando numericamente:
\omega(0)\approx 92{,}3\cdot 0{,}104719755 = 9{,}6656334\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Lembrando a relação entre torque e aceleração angular: o torque líquido é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular,
\tau(t)=I\,\alpha(t),
onde \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt} é a aceleração angular e \omega(t) a velocidade angular. Como o enunciado fornece o torque externo e não menciona outros torques, usaremos \tau(t)=\tau_{\operatorname{ext}_{\omega}}(t).
Daí
\frac{d\omega}{dt}=\frac{\tau(t)}{I}.
Integrando de 0 a t obtemos
\omega(t)=\omega(0)+\frac{1}{I}\int_{0}^{t}\tau(s)\,ds.

Passo 5

Substituir \tau(s)=75\times10^{6}e^{-0,3s} na integral:
\omega(t)=\omega(0)+\frac{75\times10^{6}}{I}\int_{0}^{t}e^{-0,3s}\,ds.
Calcular a integral exponencial:
\int_{0}^{t}e^{-0,3s}\,ds=\left[-\frac{1}{0{,}3}e^{-0,3s}\right]_{0}^{t}=\frac{1}{0{,}3}\bigl(1-e^{-0,3t}\bigr).
Logo,
\omega(t)=\omega(0)+\frac{75\times10^{6}}{I\cdot 0{,}3}\bigl(1-e^{-0,3t}\bigr).

Passo 6

Substituir I=8{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} e calcular o incremento em \mathrm{rad/s}:
\frac{75\times10^{6}}{I}=\frac{75\times10^{6}}{8{,}0\times10^{7}}=0{,}9375\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Dividindo por 0{,}3:
\frac{75\times10^{6}}{I\cdot0{,}3}=\frac{0{,}9375}{0{,}3}=3{,}125\\ \mathrm{rad/s}.
Para t=12\\ \mathrm{s} calcule 1-e^{-0,3\cdot 12}=1-e^{-3{,}6}. Usando e^{-3{,}6}\approx 0{,}0273237,
1-e^{-3{,}6}\approx 0{,}9726763.
Portanto o acréscimo em velocidade angular é
\Delta\omega=\;3{,}125\times0{,}9726763\approx 3{,}0396134\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Somar ao valor inicial:
\omega(12)=\omega(0)+\Delta\omega\approx 9{,}6656334+3{,}0396134=12{,}7052468\\ \mathrm{rad/s}.
Converter de volta para \mathrm{rpm} usando \displaystyle 1\\ \mathrm{rad/s}=\frac{60}{2\pi}\\ \mathrm{rpm}=\frac{30}{\pi}\\ \mathrm{rpm}:
\text{rpm}(12)=\omega(12)\cdot\frac{30}{\pi}.
Calculando numericamente:
\text{rpm}(12)\approx 12{,}7052468\cdot\frac{30}{\pi}\approx 121{,}305\\ \mathrm{rpm}.

Resposta

121{,}3\\ \mathrm{rpm}

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