O estado plano de tensão indicado ocorre em um componente de máquina feito de um aço com σ_{\mathrm{E}}=248,2 MPa. Usando o critério Tresca e von Mises, verifique se ocorre escoamento quando
\tau_{\mathrm{xy}}=103,4 \mathrm{MPa}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: resistência de escoamento em ensaio uniaxial \sigma_{\mathrm{E}}=248{,}2\\ \mathrm{MPa}.
  • Dado: componente está sob um estado plano de tensões com \tau_{xy}=103{,}4\\ \mathrm{MPa}. (Não foi enviada figura; como só foi fornecido o valor de \tau_{xy}, adotarei o caso usualmente implicado por essa formulação: estado de cisalhamento puro no plano, isto é, tensões normais no plano nulas \sigma_{x}=\sigma_{y}=0 e \tau_{xy} dado.)
  • Pedido: usar os critérios de Tresca e de von Mises para verificar se ocorre escoamento quando \tau_{xy}=103{,}4\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Breve explicação didática do critério de Tresca (o que é, fórmula e variáveis):
  • Intuição física: o critério de Tresca diz que o material entra em escoamento quando a maior tensão de cisalhamento no corpo alcança a metade da tensão de escoamento em ensaio uniaxial. Ou seja, o material entra em escoamento quando a maior diferença entre duas tensões principais atinge o limite.
  • Formulação prática: seja \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3 as tensões principais. A máxima tensão de cisalhamento é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
  • Condição de escoamento pelo critério de Tresca:
\tau_{\max}\ge\frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{2}.
  • Significado das variáveis:
    • \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3: tensões principais (MPa).
    • \tau_{\max}: máxima tensão de cisalhamento (MPa).
    • \sigma_{\mathrm{E}}: resistência à tração (escoamento) do material em ensaio uniaxial (MPa).

Passo 3

Aplicando Tresca ao caso de cisalhamento puro ( \sigma_x=\sigma_y=0,\\ \tau_{xy}\neq0):
  • Primeiro, achar as tensões principais para o estado com matriz de tensões no plano \begin{pmatrix}0 & \tau_{xy}\\[4pt]\tau_{xy} & 0\end{pmatrix}. As tensões principais são
\sigma_{1}=+\tau_{xy},\qquad \sigma_{2}=-\tau_{xy},
e a terceira tensão principal (fora do plano) é \sigma_{3}=0.
  • Ordenando decrescentemente: \sigma_1=\tau_{xy},\\ \sigma_2=0,\\ \sigma_3=-\tau_{xy}.
  • A máxima tensão de cisalhamento é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\frac{\tau_{xy}-(-\tau_{xy})}{2}=\frac{2\tau_{xy}}{2}=\tau_{xy}.
Observação intuitiva: em cisalhamento puro a máxima tensão de cisalhamento é igual a \tau_{xy}.
  • Condição numérica do critério de Tresca:
\text{escoamento se}\quad \tau_{xy}\ge\frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{2}.
Substituindo os valores fornecidos:
\frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{2}=\frac{248{,}2}{2}=124{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Como \tau_{xy}=103{,}4\\ \mathrm{MPa} e 103{,}4<124{,}1, concluímos pelo critério de Tresca que não ocorre escoamento.]

Passo 4

Breve explicação didática do critério de von Mises (o que é, fórmula e variáveis):
  • Intuição física: o critério de von Mises afirma que o escoamento começa quando a energia de distorção (energia associada à forma, não ao volume) alcança o mesmo valor que no ensaio uniaxial de escoamento. É também chamado de critério de energia de distorção.
  • Fórmula geral (em termos das tensões principais):
\sigma_{\mathrm{eq}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]},
onde \sigma_{\mathrm{eq}} é a tensão equivalente de von Mises.
  • Condição de escoamento:
\sigma_{\mathrm{eq}}\ge\sigma_{\mathrm{E}}.
  • Significado das variáveis:
    • \sigma_{\mathrm{eq}}: tensão equivalente von Mises (MPa).
    • \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3: tensões principais (MPa).
    • \sigma_{\mathrm{E}}: resistência à tração (MPa).

Passo 5

Aplicando von Mises ao caso de cisalhamento puro:
  • Usando as tensões principais do passo anterior: \sigma_1=\tau_{xy},\\ \sigma_2=-\tau_{xy},\\ \sigma_3=0.
  • Calcular as diferenças:
    • \sigma_1-\sigma_2=\tau_{xy}-(-\tau_{xy})=2\tau_{xy},
    • \sigma_2-\sigma_3=-\tau_{xy}-0=-\tau_{xy},
    • \sigma_3-\sigma_1=0-\tau_{xy}=-\tau_{xy}.
  • Substituindo na fórmula de von Mises:
\sigma_{\mathrm{eq}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(2\tau_{xy})^{2}+(-\tau_{xy})^{2}+(-\tau_{xy})^{2}\big]} =\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[4\tau_{xy}^{2}+\tau_{xy}^{2}+\tau_{xy}^{2}\big]} =\sqrt{\tfrac{1}{2}\cdot 6\tau_{xy}^{2}} =\sqrt{3}\,\tau_{xy}.
  • Portanto, para cisalhamento puro:
\sigma_{\mathrm{eq}}=\sqrt{3}\,\tau_{xy}.
  • Substituindo numericamente \tau_{xy}=103{,}4\\ \mathrm{MPa} e \sqrt{3}\approx1{,}732:
\sigma_{\mathrm{eq}}=\sqrt{3}\cdot 103{,}4 \approx 1{,}732\cdot 103{,}4 \approx 179{,}2\\ \mathrm{MPa}.
  • Comparação com \sigma_{\mathrm{E}}=248{,}2\\ \mathrm{MPa}: como 179{,}2<248{,}2, pelo critério de von Mises também NÃO ocorre escoamento.

Passo 6

Resumo e interpretação dos resultados (para levar para a prova):
  • Pelo critério de Tresca com os valores dados: \tau_{xy}=103{,}4\\ \mathrm{MPa}<\sigma_{\mathrm{E}}/2=124{,}1\\ \mathrm{MPa} → sem escoamento.
  • Pelo critério de von Mises: \sigma_{\mathrm{eq}}=\sqrt{3}\,\tau_{xy}\approx179{,}2\\ \mathrm{MPa}<\sigma_{\mathrm{E}}=248{,}2\\ \mathrm{MPa} → sem escoamento.
  • Dica prática: para cisalhamento puro lembre que \tau_{\max}=\tau_{xy} e \sigma_{\mathrm{eq}}=\sqrt{3}\,\tau_{xy}. Assim dá para comparar rapidamente com \sigma_{\mathrm{E}}/2 (Tresca) e \sigma_{\mathrm{E}} (von Mises).

Resposta

Tresca: \tau_{\max}=103{,}4\\ \mathrm{MPa}<\dfrac{\sigma_{\mathrm{E}}}{2}=124{,}1\\ \mathrm{MPa} \Rightarrow não ocorre escoamento.
von Mises: \sigma_{\mathrm{eq}}=\sqrt{3}\,\tau_{xy}\approx179{,}2\\ \mathrm{MPa}<\sigma_{\mathrm{E}}=248{,}2\\ \mathrm{MPa} \Rightarrow não ocorre escoamento.

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