O estado plano de tensão indicado ocorre em um componente de máquina feito de um aço com σ_{\mathrm{E}}=248,2 MPa. Usando o critério Tresca e von Mises, verifique se ocorre escoamento quando
\tau_{\mathrm{xy}}= 124,1 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de escoamento do aço: \sigma_{\mathrm{E}} = 248,2\\ \mathrm{MPa}.
    • Componente do estado plano de tensão: \tau_{xy} = 124,1\\ \mathrm{MPa}.
  • O que é pedido:
    • Verificar se ocorre escoamento usando o critério de Tresca.
    • Verificar se ocorre escoamento usando o critério de von Mises.
Observação: o enunciado só forneceu \tau_{xy} (nenhum \sigma_x ou \sigma_y foi informado). Por isso vamos assumir o caso típico de cisalhamento puro em plano (estado plano de tensão com \sigma_x=\sigma_y=0 e \tau_{xy} dado). Se houver outra informação no enunciado/figura que não foi enviada, o resultado pode mudar.

Passo 2

Encontrar os autovalores (tensões principais) do estado de tensão em plano.
Primeiro vamos relembrar a fórmula geral para as tensões principais em estado plano (componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}). As tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 são dadas por:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Explicando a fórmula passo a passo:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento naquelas direções.
  • O termo \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é a tensão média (média dos normais).
  • O termo dentro da raiz calcula quanto as tensões se afastam dessa média por efeito da diferença entre \sigma_x e \sigma_y e pelo cisalhamento \tau_{xy}.
  • O sinal + \sigma_1 (maior tensão principal) e o sinal - \sigma_2 (menor).
No nosso caso assumido de cisalhamento puro temos \sigma_x=\sigma_y=0. Substituindo:
\sigma_{1,2}=0\pm\sqrt{0+\tau_{xy}^2}=\pm\tau_{xy}.
Portanto as tensões principais são
\sigma_1=+\tau_{xy},\qquad \sigma_2=-\tau_{xy}.
Com \tau_{xy}=124,1\\ \mathrm{MPa} temos
\sigma_1=+124,1\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=-124,1\\ \mathrm{MPa}.
Em estado plano, a terceira tensão principal é \sigma_3=0 (não há componente na direção fora do plano).

Passo 3

Aplicar o critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento).
Breve explicação do critério de Tresca:
  • O critério de Tresca (critério da máxima tensão de cisalhamento) diz que o material entra em escoamento quando a máxima diferença absoluta entre pares de tensões principais atinge a tensão de escoamento em ensaio de tração simples.
  • Em fórmulas: o material escoa se
\max\big(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\big)\ge \sigma_{\mathrm{E}}.
  • Alternativa equivalente: escoa se a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\max}=\dfrac{1}{2}\max(\text{diferenças de tensões principais})çõ atingir \dfrac{\sigma_{\mathrm{E}}}{2}.
Calcular as diferenças entre tensões principais usando \sigma_1=+124,1, \sigma_2=-124,1, \sigma_3=0:
|\sigma_1-\sigma_2| = |124,1 - (-124,1)| = 248,2\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_1-\sigma_3| = |124,1 - 0| = 124,1\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_2-\sigma_3| = |-124,1 - 0| = 124,1\\ \mathrm{MPa}.
A máxima diferença é 248,2\\ \mathrm{MPa}.
Comparando com a tensão de escoamento:
248,2\\ \mathrm{MPa} \stackrel{?}{\ge} \sigma_{\mathrm{E}}=248,2\\ \mathrm{MPa}.
Temos igualdade, portanto pelo critério de Tresca o estado está no limite de escoamento (isto é, ocorre escoamento no instante em que essa igualdade se estabelece). Em termos da máxima tensão de cisalhamento:
\tau_{\max}=\frac{1}{2}\cdot 248,2\\ \mathrm{MPa}=124,1\\ \mathrm{MPa}=\frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{2},
novamente confirmando o escoamento de acordo com Tresca (caso limite).

Passo 4

Aplicar o critério de von Mises (energia de distorção equivalente).
Breve explicação do critério de von Mises:
  • Von Mises define uma tensão equivalente \sigma_{\mathrm{v}} (ou \sigma_{\mathrm{eq}}) que representa, em termos de energia de distorção, a intensidade do estado triaxial de tensões.
  • Para quaisquer três tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 a tensão equivalente é dada por
\sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
  • O material escoa segundo von Mises quando \sigma_{\mathrm{v}}\ge\sigma_{\mathrm{E}}.
  • Intuição: von Mises leva em conta a combinação quadrática das diferenças entre as tensões principais (mais ligado à energia de distorção), e costuma ser menos conservador que Tresca em alguns estados, mais conservador em outros.
Calcular \sigma_{\mathrm{v}} para o nosso caso. Usando as diferenças já calculadas:
(\sigma_1-\sigma_2)^2=(248,2)^2,
(\sigma_2-\sigma_3)^2=(124,1)^2,
(\sigma_3-\sigma_1)^2=(124,1)^2.
Logo
\sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(248,2)^2+(124,1)^2+(124,1)^2\big]}.
Mas existe uma simplificação conhecida para cisalhamento puro: quando \sigma_1=+\tau, \sigma_2=-\tau, \sigma_3=0, a tensão equivalente reduz-se a
\sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{3}\,\tau.
Explicando: a combinação das diferenças resulta exatamente nisso; é uma fórmula útil para lembrar.
Aplicando com \tau=\tau_{xy}=124,1\\ \mathrm{MPa}:
\sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{3}\cdot 124,1\\ \mathrm{MPa}\approx 1{,}73205\cdot 124,1\\ \mathrm{MPa}\approx 214,9\\ \mathrm{MPa}.
Comparando com \sigma_{\mathrm{E}}=248,2\\ \mathrm{MPa}:
214,9\\ \mathrm{MPa} < 248,2\\ \mathrm{MPa},
portanto segundo o critério de von Mises o material ainda não atingiu o escoamento (não ocorre escoamento).

Passo 5

Interpretar e reconciliar os dois resultados (o que isso significa na prática).
  • Pelo critério de Tresca encontramos que a condição de escoamento é atingida exatamente (igualdade): o estado está no limite de escoamento. Assim, Tresca diz que ocorre escoamento (caso crítico).
  • Pelo critério de von Mises o estado ainda está abaixo da tensão equivalente de escoamento: von Mises diz que não ocorre escoamento.
  • Essa diferença é comum: Tresca e von Mises são critérios distintos e podem dar respostas diferentes para certos estados de tensão (especialmente em cisalhamento puro). Tresca é mais conservador em alguns casos de cisalhamento puro (aqui prediz escoamento no limite) enquanto von Mises dá um valor equivalente menor que \sigma_{\mathrm{E}} e portanto não prevê escoamento.
  • Na prática, o engenheiro precisa escolher qual critério adotar (muitos usam von Mises para metais dúcteis, mas normas/empresas podem preferir Tresca em certos projetos). Aqui matematicamente a conclusão é: Tresca → escoamento (caso limite); von Mises → não escoamento.

Resposta

Tresca: ocorre escoamento (condição-limite, pois |\sigma_1-\sigma_2|=248,2\\ \mathrm{MPa}=\sigma_{\mathrm{E}}).
von Mises: não ocorre escoamento (tensão equivalente \sigma_{\mathrm{v}}\approx 214,9\\ \mathrm{MPa}<248,2\\ \mathrm{MPa}).

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