O estado plano de tensão indicado ocorre em um componente de máquina feito de um aço com
MPa. Usando o critério Tresca e von Mises, verifique se ocorre escoamento quando
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados fornecidos:
- Tensão de escoamento do aço:
. - Componente do estado plano de tensão:
.
- Tensão de escoamento do aço:
- O que é pedido:
- Verificar se ocorre escoamento usando o critério de Tresca.
- Verificar se ocorre escoamento usando o critério de von Mises.
Observação: o enunciado só forneceu
(nenhum
ou
foi informado). Por isso vamos assumir o caso típico de cisalhamento puro em plano (estado plano de tensão com
e
dado). Se houver outra informação no enunciado/figura que não foi enviada, o resultado pode mudar.
Passo 2
Encontrar os autovalores (tensões principais) do estado de tensão em plano.
Primeiro vamos relembrar a fórmula geral para as tensões principais em estado plano (componentes
). As tensões principais
e
são dadas por:
Explicando a fórmula passo a passo:
-
e são as tensões normais nas direções e . -
é a tensão de cisalhamento naquelas direções. - O termo
é a tensão média (média dos normais). - O termo dentro da raiz calcula quanto as tensões se afastam dessa média por efeito da diferença entre
e e pelo cisalhamento . - O sinal
dá (maior tensão principal) e o sinal dá (menor).
No nosso caso assumido de cisalhamento puro temos
. Substituindo:
Portanto as tensões principais são
Com
temos
Em estado plano, a terceira tensão principal é
(não há componente na direção fora do plano).
Passo 3
Aplicar o critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento).
Breve explicação do critério de Tresca:
- O critério de Tresca (critério da máxima tensão de cisalhamento) diz que o material entra em escoamento quando a máxima diferença absoluta entre pares de tensões principais atinge a tensão de escoamento em ensaio de tração simples.
- Em fórmulas: o material escoa se
- Alternativa equivalente: escoa se a máxima tensão de cisalhamento
atingir .
Calcular as diferenças entre tensões principais usando
,
,
:
A máxima diferença é
.
Comparando com a tensão de escoamento:
Temos igualdade, portanto pelo critério de Tresca o estado está no limite de escoamento (isto é, ocorre escoamento no instante em que essa igualdade se estabelece). Em termos da máxima tensão de cisalhamento:
novamente confirmando o escoamento de acordo com Tresca (caso limite).
Passo 4
Aplicar o critério de von Mises (energia de distorção equivalente).
Breve explicação do critério de von Mises:
- Von Mises define uma tensão equivalente
(ou ) que representa, em termos de energia de distorção, a intensidade do estado triaxial de tensões. - Para quaisquer três tensões principais
a tensão equivalente é dada por
- O material escoa segundo von Mises quando
. - Intuição: von Mises leva em conta a combinação quadrática das diferenças entre as tensões principais (mais ligado à energia de distorção), e costuma ser menos conservador que Tresca em alguns estados, mais conservador em outros.
Calcular
para o nosso caso. Usando as diferenças já calculadas:
Logo
Mas existe uma simplificação conhecida para cisalhamento puro: quando
,
,
, a tensão equivalente reduz-se a
Explicando: a combinação das diferenças resulta exatamente nisso; é uma fórmula útil para lembrar.
Aplicando com
:
Comparando com
:
portanto segundo o critério de von Mises o material ainda não atingiu o escoamento (não ocorre escoamento).
Passo 5
Interpretar e reconciliar os dois resultados (o que isso significa na prática).
- Pelo critério de Tresca encontramos que a condição de escoamento é atingida exatamente (igualdade): o estado está no limite de escoamento. Assim, Tresca diz que ocorre escoamento (caso crítico).
- Pelo critério de von Mises o estado ainda está abaixo da tensão equivalente de escoamento: von Mises diz que não ocorre escoamento.
- Essa diferença é comum: Tresca e von Mises são critérios distintos e podem dar respostas diferentes para certos estados de tensão (especialmente em cisalhamento puro). Tresca é mais conservador em alguns casos de cisalhamento puro (aqui prediz escoamento no limite) enquanto von Mises dá um valor equivalente menor que
e portanto não prevê escoamento. - Na prática, o engenheiro precisa escolher qual critério adotar (muitos usam von Mises para metais dúcteis, mas normas/empresas podem preferir Tresca em certos projetos). Aqui matematicamente a conclusão é: Tresca → escoamento (caso limite); von Mises → não escoamento.
Resposta
Tresca: ocorre escoamento (condição-limite, pois
).
von Mises: não ocorre escoamento (tensão equivalente ).
von Mises: não ocorre escoamento (tensão equivalente