QUESTÃO 14: Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro d=50 \mathrm{~mm}, comprimento L=1,2 m e módulo de elasticidade transversal G=80 G P a. A barra está submetida a torques T agindo nas extremidades:
se os torques têm intensidade T=340 N . m, qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra? Qual é o ângulo de torção entre as extremidades?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados (retirados do enunciado):
    • diâmetro da seção circular: d=50\\ \mathrm{mm},
    • comprimento da barra: L=1{,}2\\ \mathrm{m},
    • torque aplicado nas extremidades: T=340\\ \mathrm{N\cdot m},
    • módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento): G=80\\ \mathrm{GPa}.
  • Perguntas:
    1. Qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra?
    2. Qual é o ângulo de torção (ângulo de twist) entre as extremidades da barra?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas didaticamente):
  • Tensão de cisalhamento devido a torção em uma seção circular:
    a distribuição de tensão é linear com a distância radial ao eixo; a tensão em um ponto a raio \rho é
    \tau(\rho)=\frac{T\,\rho}{J},
    onde:
    • \tau(\rho) é a tensão de cisalhamento em Pa no raio \rho,
    • T é o torque (momento torsor) em \mathrm{N\cdot m},
    • \rho é a distância do ponto ao eixo (para o máximo usamos \rho=R, o raio da seção),
    • J é o momento polar de inércia da área (também chamado de momento polar de seção) em \mathrm{m^4}.
    A tensão máxima ocorre na superfície externa da barra, onde \rho=R. Então
    \tau_{\max}=\frac{T\,R}{J}.
  • Momento polar de inércia J para uma seção circular sólida:
    Podemos calcular integrando r^2 sobre a área; o resultado conhecido é
    J=\frac{\pi d^4}{32},
    onde d é o diâmetro da seção. (Também pode ser escrito J=\dfrac{\pi R^4}{2} com R=d/2.)
    Breve intuição: J mede “resistência geométrica” da seção à torção; quanto maior o d^4, muito maior a resistência.
  • Ângulo de torção (twist) entre as extremidades de uma barra circular submetida a torque uniforme:
    Para uma barra prismaticamente homogênea, o ângulo de torção \varphi (em radianos) ao longo do comprimento L é
    \varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
    onde G é o módulo de cisalhamento (módulo transversal).

Passo 3

Converter todas as grandezas para unidades SI consistentes:
  • d=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
  • Raio R=\dfrac{d}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • L=1{,}2\\ \mathrm{m} (já em SI).
  • T=340\\ \mathrm{N\cdot m} (já em SI).
  • G=80\\ \mathrm{GPa}=80\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular o momento polar de inércia J:
  • Primeiro calcule d^4:
    d^4=(0{,}050)^4=6{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4.
  • Agora aplicar a fórmula
    J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\,(6{,}25\times10^{-6})}{32}.
  • Fazendo a conta (mostrando passos):
    \pi\cdot 6{,}25\times10^{-6}=1{,}9634954\times10^{-5},
J=\frac{1{,}9634954\times10^{-5}}{32}=6{,}1365478\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max}:
  • Fórmula:
    \tau_{\max}=\frac{T\,R}{J}.
  • Substituindo valores (mostrando numericamente):
    T\,R=340\cdot 0{,}025=8{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.
\tau_{\max}=\frac{8{,}5}{6{,}1365478\times10^{-7}}\\ \mathrm{Pa}.
  • Fazendo a divisão:
    \tau_{\max}\approx 1{,}3858946\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=13{,}859\\ \mathrm{MPa}.
  • Interpretação prática: a tensão de cisalhamento máxima é \approx 13{,}9\\ \mathrm{MPa}. Isso é um valor bem abaixo da resistência típica à tração/cisalhamento do aço comercial (valores de resistência variam muito com tipo de aço), mas o importante aqui é saber como calcular e comparar com limites dados em projeto.

Passo 6

Calcular o ângulo de torção \varphi entre as extremidades:
  • Fórmula:
    \varphi=\frac{T\,L}{G\,J}.
  • Substituindo valores:
    T\,L=340\cdot 1{,}2=408\\ \mathrm{N\cdot m}.
G\,J=(80\times10^{9})\cdot(6{,}1365478\times10^{-7})\\ \mathrm{N\cdot m^2}.
  • Calcular o denominador:
    G\,J=80\times10^{9}\times6{,}1365478\times10^{-7}=4{,}90923827\times10^{4}.
  • Agora o ângulo:
    \varphi=\frac{408}{4{,}90923827\times10^{4}}\\ \mathrm{rad}\approx 8{,}3143\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}.
  • Converter para graus (opcional e útil para intuição):
    \phi_{\text{(deg)}}=\varphi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 0{,}4766^\circ.
  • Interpretação: o ângulo de torção entre as extremidades é aproximadamente 0{,}00831\\ \mathrm{rad}, ou cerca de 0{,}48^\circ. É um pequeno ângulo, mas em aplicações sensíveis pode ser significativo.

Resposta

\tau_{\max}=13{,}86\\ \mathrm{MPa}
\varphi=8{,}314\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}\approx0{,}4766^\circ

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