QUESTÃO 14: Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro
, comprimento
e módulo de elasticidade transversal
. A barra está submetida a torques
agindo nas extremidades:
se os torques têm intensidade
, qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra? Qual é o ângulo de torção entre as extremidades?
se os torques têm intensidade
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
-
Dados (retirados do enunciado):
- diâmetro da seção circular:
, - comprimento da barra:
, - torque aplicado nas extremidades:
, - módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento):
.
- diâmetro da seção circular:
-
Perguntas:
- Qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra?
- Qual é o ângulo de torção (ângulo de twist) entre as extremidades da barra?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas didaticamente):
-
Tensão de cisalhamento devido a torção em uma seção circular:
a distribuição de tensão é linear com a distância radial ao eixo; a tensão em um ponto a raioé onde:-
é a tensão de cisalhamento em Pa no raio , -
é o torque (momento torsor) em , -
é a distância do ponto ao eixo (para o máximo usamos , o raio da seção), -
é o momento polar de inércia da área (também chamado de momento polar de seção) em .
A tensão máxima ocorre na superfície externa da barra, onde. Então -
-
Momento polar de inércia
para uma seção circular sólida:
Podemos calcular integrandosobre a área; o resultado conhecido é ondeé o diâmetro da seção. (Também pode ser escrito com .) Breve intuição:mede “resistência geométrica” da seção à torção; quanto maior o , muito maior a resistência. -
Ângulo de torção (twist) entre as extremidades de uma barra circular submetida a torque uniforme:
Para uma barra prismaticamente homogênea, o ângulo de torção(em radianos) ao longo do comprimento é ondeé o módulo de cisalhamento (módulo transversal).
Passo 3
Converter todas as grandezas para unidades SI consistentes:
-
. - Raio
. -
(já em SI). -
(já em SI). -
.
Passo 4
Calcular o momento polar de inércia
:
-
Primeiro calcule
: -
Agora aplicar a fórmula
-
Fazendo a conta (mostrando passos):
Passo 5
Calcular a tensão de cisalhamento máxima
:
-
Fórmula:
-
Substituindo valores (mostrando numericamente):
-
Fazendo a divisão:
-
Interpretação prática: a tensão de cisalhamento máxima é
. Isso é um valor bem abaixo da resistência típica à tração/cisalhamento do aço comercial (valores de resistência variam muito com tipo de aço), mas o importante aqui é saber como calcular e comparar com limites dados em projeto.
Passo 6
Calcular o ângulo de torção
entre as extremidades:
-
Fórmula:
-
Substituindo valores:
-
Calcular o denominador:
-
Agora o ângulo:
-
Converter para graus (opcional e útil para intuição):
-
Interpretação: o ângulo de torção entre as extremidades é aproximadamente
, ou cerca de . É um pequeno ângulo, mas em aplicações sensíveis pode ser significativo.