1.50 Uma revista de aficionados publica dados dos seus testes de estrada sobre a capacidade de aceleração lateral de carros. As medições são feitas utilizando-se uma pista de 46 m de diâmetro. Suponha que a trajetória do veículo desvia-se do círculo por \pm 0,6 \mathrm{~m} e que a velocidade do veículo é medida por um dispositivo medidor de quinta roda com incerteza de \pm 0,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Estime a incerteza experimental em uma aceleração lateral anotada de 0,7 \mathrm{~g}. Como você poderia melhorar o procedimento experimental para reduzir a incerteza?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma estimativa da incerteza experimental na aceleração lateral anotada:
  • Pista de diâmetro 46\\ \mathrm{m}.
  • A trajetória do veículo desvia-se do círculo por \pm 0,6\\ \mathrm{m}.
  • A velocidade é medida por um “fifth wheel” com incerteza \pm 0,8\\ \mathrm{km/h}.
  • A aceleração lateral anotada é 0,7\\ g (onde g é a aceleração gravitacional).
O que se pede: estimar a incerteza experimental (absoluta e/ou relativa) associada a essa aceleração lateral de 0,7\\ g.

Passo 2

Primeiro a fórmula que relaciona velocidade, raio e aceleração lateral. Para movimento circular uniforme a aceleração lateral (centrípeta) vale
a=\frac{v^{2}}{r},
onde:
  • a é a aceleração lateral (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • v é a velocidade tangencial (em \mathrm{m/s}),
  • r é o raio da curva (em \mathrm{m}).
Agora, como as medidas de v e r têm incertezas, usamos a regra de propagação de incertezas para duas variáveis independentes: se a=f(v,r), então a incerteza combinada \Delta a é aproximada por
\Delta a \approx \sqrt{\left(\frac{\partial a}{\partial v}\Delta v\right)^{2}+\left(\frac{\partial a}{\partial r}\Delta r\right)^{2}}.
Isto vem da expansão linear de f em torno dos valores medidos e supõe pequenas incertezas e independência entre os erros de v e r.
Calculemos as derivadas parciais de a=\dfrac{v^{2}}{r}:
\frac{\partial a}{\partial v}=\frac{2v}{r},\qquad \frac{\partial a}{\partial r}=-\frac{v^{2}}{r^{2}}=-\frac{a}{r}.
Essas expressões dizem como uma pequena mudança em v ou r afeta a.

Passo 3

Convertemos e fixamos os valores numéricos usados:
  • Raio nominal da pista: diâmetro 46\\ \mathrm{m}\Rightarrow raio
r= \frac{46}{2}=23\\ \mathrm{m}.
  • Incerteza no raio (desvio da trajetória, retirado do enunciado):
\Delta r=0,6\\ \mathrm{m}.
  • Incerteza da velocidade: \Delta v=0,8\\ \mathrm{km/h}. Converter para \mathrm{m/s} usando 1\\ \mathrm{km/h}=1/3,6\\ \mathrm{m/s}:
\Delta v = \frac{0,8}{3,6}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,222\\ \mathrm{m/s}.
Transformamos a aceleração anotada em unidades SI para trabalhar com números:
a_{\text{nom}}=0,7\\ g=0,7\times 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}=6,86\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A partir de a e r podemos achar a velocidade correspondente (útil para calcular as derivadas):
v=\sqrt{a r}=\sqrt{6,86\times 23}\\ \mathrm{m/s}\approx 12,56\\ \mathrm{m/s}.
Para referência, isto equivale a 12,56\times 3,6\approx 45,2\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Calculamos as derivadas com os valores numéricos e as contribuições parciais para \Delta a.
Primeiro
\frac{\partial a}{\partial v}=\frac{2v}{r}=\frac{2\times 12,56}{23}\\ \mathrm{\frac{m/s^{2}}{m/s}}\approx 1,092\\ \mathrm{\frac{m/s^{2}}{m/s}}.
Então a contribuição de \Delta v para a incerteza em a é
\Delta a_{v}=\frac{\partial a}{\partial v}\,\Delta v \approx 1,092\times 0,222\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 0,243\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Em seguida
\frac{\partial a}{\partial r}=-\frac{a}{r}=-\frac{6,86}{23}\\ \mathrm{\frac{m/s^{2}}{m}}\approx -0,298\\ \mathrm{\frac{m/s^{2}}{m}}.
A contribuição de \Delta r é
\Delta a_{r}=\left|\frac{\partial a}{\partial r}\right|\,\Delta r \approx 0,298\times 0,6\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 0,179\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Agora combinamos as incertezas assumindo que os erros são independentes (adição quadrática):
\Delta a \approx \sqrt{(\Delta a_{v})^{2}+(\Delta a_{r})^{2}}=\sqrt{0,243^{2}+0,179^{2}}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 0,302\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Convertendo para unidades de g:
\Delta a \approx \frac{0,302}{9,8}\\ g\approx 0,0308\\ g\approx 0,031\\ g.
Percentual relativo em relação a a_{\text{nom}}=6,86\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{\Delta a}{a_{\text{nom}}}\times 100\%\approx \frac{0,302}{6,86}\times 100\%\approx 4,4\%.

Passo 6

Interpretação e comunicação do resultado (forma prática que se usa em relatórios):
  • A aceleração 0,7\\ g tem incerteza aproximadamente \pm 0,031\\ g.
  • Em unidades SI: a=(6,86\pm 0,30)\\ \mathrm{m/s^{2}}, isto é, cerca de 4,4\% de incerteza relativa.

Passo 7

Como reduzir a incerteza — sugestões práticas (com explicação rápida do porquê cada medida ajuda):
  • Medir a trajetória real (raio) em vez de assumir o centro do traçado: usar GPS de alta precisão (RTK), sistema óptico/ câmera com calibração, ou marcadores no solo para determinar r. Isso reduz \Delta r (que aqui contribuiu sensivelmente).
  • Diminuir o desvio lateral: guias, cones ou uma linha guia para forçar o carro a seguir um raio mais constante; reduzirá \Delta r.
  • Melhorar a medição de velocidade: usar um velocímetro de maior precisão, radar/laser ou GPS de alta taxa para reduzir \Delta v. Aqui \Delta v foi a maior contribuição isolada.
  • Medir a diretamente com acelerômetro calibrado (IMU de boa qualidade): isso evita a propagação de erros de v e r e frequentemente dá menor incerteza se bem calibrado.
  • Fazer várias repetições e tirar a média: reduz erro aleatório pela regra \Delta_{\text{média}}\sim \Delta/\sqrt{N}é.
  • Aumentar o raio de ensaio (quando possível): como \partial a/\partial r\sim a/r, um r maior reduz a sensibilidade de a a flutuações \Delta r.
    Em resumo: medir diretamente a com boa IMU e/ou melhorar precisão de v e r são as ações mais eficientes.

Resposta

a=(6,86\pm 0,30)\\ \mathrm{m/s^{2}} (incerteza relativa \approx 4{,}4\%)
a=(0,70\pm 0,03)\\ g

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