1.50 Uma revista de aficionados publica dados dos seus testes de estrada sobre a capacidade de aceleração lateral de carros. As medições são feitas utilizando-se uma pista de 46 m de diâmetro. Suponha que a trajetória do veículo desvia-se do círculo por \pm 0,6 \mathrm{~m} e que a velocidade do veículo é medida por um dispositivo medidor de quinta roda com incerteza de \pm 0,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Estime a incerteza experimental em uma aceleração lateral anotada de 0,7 \mathrm{~g}. Como você poderia melhorar o procedimento experimental para reduzir a incerteza?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma estimativa da incerteza experimental na aceleração lateral anotada:
Pista de diâmetro 46\\ \mathrm{m}.
A trajetória do veículo desvia-se do círculo por \pm 0,6\\ \mathrm{m}.
A velocidade é medida por um “fifth wheel” com incerteza \pm 0,8\\ \mathrm{km/h}.
A aceleração lateral anotada é 0,7\\ g (onde g é a aceleração gravitacional).
O que se pede: estimar a incerteza experimental (absoluta e/ou relativa) associada a essa aceleração lateral de 0,7\\ g.
Passo 2
Primeiro a fórmula que relaciona velocidade, raio e aceleração lateral. Para movimento circular uniforme a aceleração lateral (centrípeta) vale
a=\frac{v^{2}}{r},
onde:
a é a aceleração lateral (em \mathrm{m/s^{2}}),
v é a velocidade tangencial (em \mathrm{m/s}),
r é o raio da curva (em \mathrm{m}).
Agora, como as medidas de v e r têm incertezas, usamos a regra de propagação de incertezas para duas variáveis independentes: se a=f(v,r), então a incerteza combinada \Delta a é aproximada por
\Delta a \approx \sqrt{\left(\frac{\partial a}{\partial v}\Delta v\right)^{2}+\left(\frac{\partial a}{\partial r}\Delta r\right)^{2}}.
Isto vem da expansão linear de f em torno dos valores medidos e supõe pequenas incertezas e independência entre os erros de v e r.
Calculemos as derivadas parciais de a=\dfrac{v^{2}}{r}:
Interpretação e comunicação do resultado (forma prática que se usa em relatórios):
A aceleração 0,7\\ g tem incerteza aproximadamente \pm 0,031\\ g.
Em unidades SI: a=(6,86\pm 0,30)\\ \mathrm{m/s^{2}}, isto é, cerca de 4,4\% de incerteza relativa.
Passo 7
Como reduzir a incerteza — sugestões práticas (com explicação rápida do porquê cada medida ajuda):
Medir a trajetória real (raio) em vez de assumir o centro do traçado: usar GPS de alta precisão (RTK), sistema óptico/ câmera com calibração, ou marcadores no solo para determinar r. Isso reduz \Delta r (que aqui contribuiu sensivelmente).
Diminuir o desvio lateral: guias, cones ou uma linha guia para forçar o carro a seguir um raio mais constante; reduzirá \Delta r.
Melhorar a medição de velocidade: usar um velocímetro de maior precisão, radar/laser ou GPS de alta taxa para reduzir \Delta v. Aqui \Delta v foi a maior contribuição isolada.
Medir a diretamente com acelerômetro calibrado (IMU de boa qualidade): isso evita a propagação de erros de v e r e frequentemente dá menor incerteza se bem calibrado.
Fazer várias repetições e tirar a média: reduz erro aleatório pela regra \Delta_{\text{média}}\sim \Delta/\sqrt{N}é.
Aumentar o raio de ensaio (quando possível): como \partial a/\partial r\sim a/r, um r maior reduz a sensibilidade de a a flutuações \Delta r.
Em resumo: medir diretamente a com boa IMU e/ou melhorar precisão de v e r são as ações mais eficientes.
Resposta
a=(6,86\pm 0,30)\\ \mathrm{m/s^{2}} (incerteza relativa \approx 4{,}4\%) a=(0,70\pm 0,03)\\ g