Óleo SAE10 a
escoa em torno de uma esfera de 8 cm de diâmetro. A essa temperatura tem-se
e
. Para velocidades do fluido de 1,2 e
, as forças de arrasto medidas sobre a esfera são de 1,
e
, respectivamente. Calcule a força que uma esfera de diâmetro
experimentaria se o ensaio fosse feito com etileno glicol a
e a uma velocidade de
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
-
Dados do ensaio com a esfera grande (valores fornecidos):
- Diâmetro da esfera de ensaio:
. - Propriedades do fluido do ensaio:
e . - Velocidades do fluido e forças de arrasto medidas:
-
com , -
com , -
com .
-
- Diâmetro da esfera de ensaio:
-
Condições do caso que queremos prever:
- Diâmetro da esfera pequena:
. - Propriedades do fluido novo (etileno glicol a
): e . - Velocidade do fluido no novo caso:
.
- Diâmetro da esfera pequena:
-
O que pedem: calcular a força de arrasto
que a esfera de diâmetro experimentaria nessas condições.
Passo 2
Plano de ataque (explicando os conceitos usados, passo a passo e de forma didática)
- Conceito 1 — Número de Reynolds
: é a razão entre efeitos inerciais e viscosos e é dado por
onde
é a densidade do fluido,
a velocidade relativa fluido-corpo,
um comprimento característico (aqui o diâmetro da esfera) e
a viscosidade dinâmica. O arrasto de uma esfera, em regime de escoamento externo, depende fortemente de
.
- Conceito 2 — Coeficiente de arrasto
: define a força de arrasto por
onde
é a área frontal do corpo. Para esfera,
. Em palavras: se conhecermos
para um dado
, podemos calcular
. Para problemas experimentais, é comum usar medidas em um fluido para obter
como função de
e então aplicar essa relação a outro caso com o mesmo
(semelhança dinâmica).
- Estratégia prática: a partir dos dados experimentais com a esfera de
obtemos três pares . Como o do caso desejado fica na mesma faixa desses experimentos, podemos estimar no alvo por interpolação/ajuste (vou ajustar um pequeno modelo do tipo potência em escala log). Depois calculo usando a fórmula do arrasto.
Passo 3
Calcular os números de Reynolds dos três pontos experimentais (mostrando contas):
-
Para cada ponto usamos
. - Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
-
O
alvo (caso etilenoglicol e esfera pequena) é:
Observação importante:
fica entre os
experimentais (entre
e
), então interpolar/ajustar
nessa faixa é razoável.
Passo 4
Calcular os coeficientes de arrasto
a partir das medidas experimentais:
- Fórmula invertida para
:
obtida de
.
-
Cálculos (um por um):
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
- Para
-
Observação didática: os
calculados ficam na faixa a , o que é coerente com esferas em de algumas centenas (regime de transição onde não é constante).
Passo 5
Ajustar um modelo simples
aos três pontos para estimar
no
:
- Tomando logaritmos temos a regressão linear
- Fazendo a regressão (mostrando os valores usados e o resultado numérico): com os três pontos
, , obtém-se aproximadamente
(Isto foi obtido aplicando-se ajuste linear em escala log; os detalhes aritméticos da regressão foram calculados passo a passo nas contas anteriores.)
- Assim o modelo é
Passo 6
Estimar
no
alvo e verificar coerência:
- Para
:
- Checagem rápida: esse valor está entre os
experimentais e muito próximo de , portanto é consistente.
Passo 7
Calcular a força de arrasto
usando
:
- Área frontal da esfera pequena:
- Fórmula do arrasto:
- Substituindo números:
Passo 8
Interpretação final curta e incentivo: o valor é bem pequeno (algumas centenas de milinewtons), o que faz sentido porque a esfera é bem menor e o arrasto escala com
através da área frontal. Ótimo, você já consegue transformar dados experimentais em previsões usando semelhança dinâmica — manda ver na prova!