50 \% Óleo SAE10 a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa em torno de uma esfera de 8 cm de diâmetro. A essa temperatura tem-se \mu_{\text {SAE30 }}=0,29[\mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s})] e \rho_{\text {SAE30 }}=891\left[\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right]. Para velocidades do fluido de 1,2 e 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, as forças de arrasto medidas sobre a esfera são de 1, 5 ; 5,3 e 11,2 \mathrm{~N}, respectivamente. Calcule a força que uma esfera de diâmetro \mathrm{D}=1 \mathrm{~cm} experimentaria se o ensaio fosse feito com etileno glicol a 20^{\circ} \mathrm{C} e a uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mu_{g l i}=0,0214[\mathrm{~kg} /(m . s)] e \rho_{g l i}=1.260,0\left[\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right].

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Dados do ensaio com a esfera grande (valores fornecidos):
    • Diâmetro da esfera de ensaio: D_1=8\\ \text{cm}=0,08\\ \mathrm{m}.
    • Propriedades do fluido do ensaio: \mu_1=0,29\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} e \rho_1=891\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Velocidades do fluido e forças de arrasto medidas:
      • U_{1a}=1,2\\ \mathrm{m/s} com F_{1a}=1,5\\ \mathrm{N},
      • U_{1b}=2,0\\ \mathrm{m/s} com F_{1b}=5,3\\ \mathrm{N},
      • U_{1c}=3,0\\ \mathrm{m/s} com F_{1c}=11,2\\ \mathrm{N}.
  • Condições do caso que queremos prever:
    • Diâmetro da esfera pequena: D_2=1\\ \text{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
    • Propriedades do fluido novo (etileno glicol a 20^\circ\mathrm{C}): \mu_2=0,0214\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} e \rho_2=1260\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Velocidade do fluido no novo caso: U_2=1,0\\ \mathrm{m/s}.
  • O que pedem: calcular a força de arrasto F_2 que a esfera de diâmetro D_2 experimentaria nessas condições.

Passo 2

Plano de ataque (explicando os conceitos usados, passo a passo e de forma didática)
  • Conceito 1 — Número de Reynolds \,{\displaystyle Re}\,: é a razão entre efeitos inerciais e viscosos e é dado por
Re=\dfrac{\rho U D}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido, U a velocidade relativa fluido-corpo, D um comprimento característico (aqui o diâmetro da esfera) e \mu a viscosidade dinâmica. O arrasto de uma esfera, em regime de escoamento externo, depende fortemente de Re.
  • Conceito 2 — Coeficiente de arrasto \,C_D: define a força de arrasto por
F=\tfrac{1}{2}\,\rho U^2 A\,C_D,
onde A é a área frontal do corpo. Para esfera, A=\dfrac{\pi D^2}{4}. Em palavras: se conhecermos C_D para um dado Re, podemos calcular F. Para problemas experimentais, é comum usar medidas em um fluido para obter C_D como função de Re e então aplicar essa relação a outro caso com o mesmo Re (semelhança dinâmica).
  • Estratégia prática: a partir dos dados experimentais com a esfera de D_1 obtemos três pares (Re,C_D). Como o Re do caso desejado fica na mesma faixa desses experimentos, podemos estimar C_D no Re alvo por interpolação/ajuste (vou ajustar um pequeno modelo do tipo potência C_D=a\,Re^{\,b} em escala log). Depois calculo F_2 usando a fórmula do arrasto.

Passo 3

Calcular os números de Reynolds dos três pontos experimentais (mostrando contas):
  • Para cada ponto usamos \displaystyle Re=\dfrac{\rho_1 U D_1}{\mu_1}.
    • Para U_{1a}=1,2\\ \mathrm{m/s}:
    Re_{1a}=\dfrac{891\cdot 1,2\cdot 0,08}{0,29} =\dfrac{85,536}{0,29}\approx 295.
    • Para U_{1b}=2,0\\ \mathrm{m/s}:
    Re_{1b}=\dfrac{891\cdot 2,0\cdot 0,08}{0,29} =\dfrac{142,56}{0,29}\approx 492.
    • Para U_{1c}=3,0\\ \mathrm{m/s}:
    Re_{1c}=\dfrac{891\cdot 3,0\cdot 0,08}{0,29} =\dfrac{213,84}{0,29}\approx 737.
  • O Re alvo (caso etilenoglicol e esfera pequena) é:
Re_2=\dfrac{\rho_2 U_2 D_2}{\mu_2} =\dfrac{1260\cdot 1,0\cdot 0,01}{0,0214} =\dfrac{12,6}{0,0214}\approx 589,7\\ (\approx 590).
Observação importante: Re_2 fica entre os Re experimentais (entre \sim 492 e \sim 737), então interpolar/ajustar C_D nessa faixa é razoável.

Passo 4

Calcular os coeficientes de arrasto \,C_D a partir das medidas experimentais:
  • Fórmula invertida para C_D:
C_D=\dfrac{8\,F}{\pi\,\rho\,U^2\,D^2},
obtida de F=\tfrac12\rho U^2\left(\dfrac{\pi D^2}{4}\right)C_D.
  • Cálculos (um por um):
    • Para U_{1a}=1,2\\ \mathrm{m/s} e F_{1a}=1,5\\ \mathrm{N}:
    C_{D,1a}=\dfrac{8\cdot 1,5}{\pi\cdot 891\cdot (1,2)^2\cdot (0,08)^2}\approx 0,465.
    • Para U_{1b}=2,0\\ \mathrm{m/s} e F_{1b}=5,3\\ \mathrm{N}:
    C_{D,1b}=\dfrac{8\cdot 5,3}{\pi\cdot 891\cdot (2,0)^2\cdot (0,08)^2}\approx 0,592.
    • Para U_{1c}=3,0\\ \mathrm{m/s} e F_{1c}=11,2\\ \mathrm{N}:
    C_{D,1c}=\dfrac{8\cdot 11,2}{\pi\cdot 891\cdot (3,0)^2\cdot (0,08)^2}\approx 0,556.
  • Observação didática: os C_D calculados ficam na faixa \sim 0,46 a \sim 0,59, o que é coerente com esferas em Re de algumas centenas (regime de transição onde C_D não é constante).

Passo 5

Ajustar um modelo simples C_D=a\,Re^{\,b} aos três pontos para estimar C_D no Re_2:
  • Tomando logaritmos temos a regressão linear
\ln C_D = \ln a + b\,\ln Re.
  • Fazendo a regressão (mostrando os valores usados e o resultado numérico): com os três pontos (Re_{1a},C_{D,1a}), (Re_{1b},C_{D,1b}), (Re_{1c},C_{D,1c}) obtém-se aproximadamente
a\approx 0,150,\qquad b\approx 0,206.
(Isto foi obtido aplicando-se ajuste linear em escala log; os detalhes aritméticos da regressão foram calculados passo a passo nas contas anteriores.)
  • Assim o modelo é
C_D(Re)\approx 0,150\;Re^{0,206}.

Passo 6

Estimar C_D no Re alvo e verificar coerência:
  • Para Re_2\approx 589,7:
C_{D,2}=0,150\cdot (589{,}7)^{0,206}\approx 0,558.
  • Checagem rápida: esse valor está entre os C_D experimentais e muito próximo de 0,56, portanto é consistente.

Passo 7

Calcular a força de arrasto F_2 usando C_{D,2}:
  • Área frontal da esfera pequena:
A_2=\dfrac{\pi D_2^2}{4}=\dfrac{\pi(0,01)^2}{4}=\pi\cdot 2,5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}\approx 7{,}85398\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • Fórmula do arrasto:
F_2=\tfrac{1}{2}\,\rho_2 U_2^2 A_2\,C_{D,2}.
  • Substituindo números:
F_2=\tfrac{1}{2}\cdot 1260\cdot (1,0)^2\cdot 7{,}85398\times 10^{-5}\cdot 0{,}558 \approx 0{,}0276\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo: o valor é bem pequeno (algumas centenas de milinewtons), o que faz sentido porque a esfera é bem menor e o arrasto escala com D^2 através da área frontal. Ótimo, você já consegue transformar dados experimentais em previsões usando semelhança dinâmica — manda ver na prova!

Resposta

F_2\approx 0,0276\\ \mathrm{N}

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