1- Em uma indústria alimentícia, um alimento líquido, a 72{ }^{\circ} \mathrm{C} é transportado com uma vazão mássica de 324000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} em uma tubulação de aço comercial com 5 polegadas de diâmetro interno e 20 m de comprimento. O fluido alimentício, nessa temperatura, apresenta densidade de 900,00 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e comportamento reológico pseudoplástico, sem tensão de cisalhamento inicial, com índice de consistência igual a 0,05 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{e} índice de comportamento igual a 0,5 . Determine a perda de carga ao longo do escoamento. Qual a potência da bomba para uma queda de pressão na tubulação de 900 kPa ? Caso o fluido fosse newtoniano(admitir a viscosidade dinâmica igual a 0,05 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} e \mathrm{n}=1 ) qual seria a potência da bomba?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
  • Vazão mássica: \dot{m}=324000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Diâmetro interno da tubulação: D=5 polegadas =5\times25{,}4\\ \mathrm{mm}=127{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}127\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: L=20\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do alimento (apenas informe): 72{ }^{\circ}\mathrm{C} (usada só para justificar propriedades fornecidas).
  • Densidade do fluido: \rho=900{,}00\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Fluido pseudoplástico (modelo potência) sem tensão de escoamento inicial, com:
    • índice de consistência k=0{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}},
    • índice de comportamento n=0{,}5.
  • Perguntas:
    1. Determinar a perda de carga (queda de pressão) ao longo do escoamento na tubulação (para o fluido pseudoplástico com os dados acima).
    2. Qual a potência da bomba para uma queda de pressão na tubulação de 900\\ \mathrm{kPa} ?
    3. Se o fluido fosse newtoniano (viscosidade dinâmica \mu=0{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot s} e n=1), qual seria a potência da bomba?
Observações que vou usar (sem resolver ainda): a vazão mássica deve ser convertida em vazão volumétrica e velocidade média; para fluido potência uso a definição de “taxa de cisalhamento nominal na parede” de Metzner–Reed para obter viscosidade aparente; usarei a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga: \Delta P = f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{\rho V^2}{2}. Vou explicar cada conceito quando necessário.

Passo 2

Converter a vazão mássica em vazão volumétrica e calcular a velocidade média V.
  • Primeiro a vazão mássica em \mathrm{kg/s}:
\dot{m}=\frac{324000}{3600}=90{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Vazão volumétrica:
Q=\frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{90{,}0}{900{,}00}=0{,}100\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Área da seção transversal (tubo circular):
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}127)^{2}}{4}=0{,}012666\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{aprox.}).
  • Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}100}{0{,}012666}=7{,}8947\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).
Explicação rápida (didática): a velocidade média é o volume por unidade de tempo dividido pela área do tubo — isso é o que aparece nas fórmulas de perda de carga da hidráulica.

Passo 3

Para o fluido potência (modelo de Ostwald–de Waele) precisamos de uma viscosidade “aparente” para poder usar fórmulas semelhantes às dos fluidos newtonianos. Primeiro defino a taxa de cisalhamento nominal na parede \dot{\gamma}_{w} usada por Metzner–Reed:
\dot{\gamma}_{w} = \left(\frac{3n+1}{4n}\right)\frac{8V}{D}.
Essa fórmula dá uma estimativa prática da taxa de cisalhamento na parede em função da velocidade média; é comum em problemas de escoamento em condutos para fluido potência.
Para n=0{,}5:
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot0{,}5+1}{4\cdot0{,}5}=\frac{1{,}5+1}{2}= \frac{2{,}5}{2}=1{,}25.
Logo
\dot{\gamma}_{w}=1{,}25\cdot\frac{8V}{D}=10\cdot\frac{V}{D}.
Substituindo V e D:
\dot{\gamma}_{w}=10\cdot\frac{7{,}8947}{0{,}127}=621{,}65\\ \mathrm{s^{-1}}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular a viscosidade aparente no ponto de parede para o fluido potência. Para o modelo potência a viscosidade aparente é
\mu_{\mathrm{app}}=k\,\dot{\gamma}_{w}^{\,n-1}.
Aqui n-1= -0{,}5. Então:
\mu_{\mathrm{app}}=0{,}05\cdot(621{,}65)^{-0{,}5}=0{,}05\cdot\frac{1}{\sqrt{621{,}65}}.
Calcule:
\sqrt{621{,}65}\approx24{,}93\quad\Rightarrow\quad\mu_{\mathrm{app}}\approx0{,}05\cdot0{,}04011=0{,}0020055\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Explicação didática: para um fluido que afina com a taxa de cisalhamento (n<1), quanto maior a taxa de cisalhamento, menor a viscosidade aparente; aqui a viscosidade aparente ficou bem menor que 0{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Avaliar o regime de escoamento e escolher expressão para o fator de atrito f.
  • Reynolds aparente usando \mu_{\mathrm{app}}:
\mathrm{Re}_{\mathrm{app}}=\frac{\rho V D}{\mu_{\mathrm{app}}} =\frac{900\cdot7{,}8947\cdot0{,}127}{0{,}0020055}.
Calcule o numerador:
900\cdot7{,}8947\cdot0{,}127\approx902{,}00.
Logo
\mathrm{Re}_{\mathrm{app}}\approx\frac{902{,}00}{0{,}0020055}\approx449778\approx4{,}50\times10^{5}.
Interpretação: é um número de Reynolds bem grande → escoamento plenamente turbulento.
Escolha do modelo para f: para regime turbulento em tubos lisos, uma aproximação simples e prática é a correlação de Blasius:
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25},
válida empiricamente em um intervalo de Reynolds turbulento (aqui usamos \mathrm{Re}_{\mathrm{app}} como aproximante). Observação: existem correlações específicas para não-newtonianos (Dodge–Metzner), mas a prática industrial muitas vezes usa a viscosidade aparente \mu_{\mathrm{app}} e aplica Blasius/Colebrook com essa Re aparente; farei isso e avisarei que é aproximação razoável.
Aplicando Blasius:
f=0{,}3164\cdot(4{,}49778\times10^{5})^{-0{,}25}.
Calcule:
(4{,}49778\times10^{5})^{0{,}25}\approx25{,}97\quad\Rightarrow\quad(4{,}49778\times10^{5})^{-0{,}25}\approx0{,}03848,
f\approx0{,}3164\cdot0{,}03848=0{,}01216.

Passo 6

Calcular a perda de carga usando Darcy–Weisbach:
\Delta P = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2}.
  • Primeiro \dfrac{\rho V^{2}}{2}:
\frac{\rho V^{2}}{2}=\frac{900\cdot(7{,}8947)^{2}}{2} =450\cdot62{,}323\approx28045{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Razão L/D:
\frac{L}{D}=\frac{20}{0{,}127}=157{,}480.
  • Agora \Delta P:
\Delta P = 0{,}01216\cdot157{,}480\cdot28045{,}5 \approx53657\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo:
\Delta P\approx53{,}66\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: a perda de carga ao longo dos 20\\ \mathrm{m} para o fluido pseudoplástico, com as aproximações adotadas (viscosidade aparente + Blasius), é cerca de 54\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Potência hidráulica da bomba para uma diferença de pressão dada. A potência hidráulica (ideal, sem perdas mecânicas ou eficiência) é:
P=\Delta P\cdot Q.
Para \Delta P=900\\ \mathrm{kPa}=900000\\ \mathrm{Pa} e Q=0{,}100\\ \mathrm{m^{3}/s}:
P=900000\cdot0{,}100=90000\\ \mathrm{W}=90{,}0\\ \mathrm{kW}.
Explicação: a potência necessária para vencer uma queda de pressão é simplesmente pressão multiplicada pela vazão volumétrica; se houver eficiência de bomba, dividir por ela (não fornecida aqui).

Passo 8

Calcular a situação se o fluido fosse newtoniano com \mu=0{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot s} (e n=1). Vou repetir os passos relevantes:
  • Reynolds (newtoniano):
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{900\cdot7{,}8947\cdot0{,}127}{0{,}05}=\frac{902{,}00}{0{,}05}=18040.
  • Escolhendo novamente Blasius (regime turbulento, Re>4000), obtenho:
f=0{,}3164\cdot(18040)^{-0{,}25}.
Calculando:
(18040)^{0{,}25}\approx11{,}58\quad\Rightarrow\quad(18040)^{-0{,}25}\approx0{,}08633,
f\approx0{,}3164\cdot0{,}08633=0{,}02727.
  • Agora a perda de carga:
\Delta P_{\text{newt}}=0{,}02727\cdot157{,}480\cdot28045{,}5\approx120387\\ \mathrm{Pa}=120{,}39\\ \mathrm{kPa}.
  • Potência da bomba para vencer essa perda (potência hidráulica):
P_{\text{newt}}=\Delta P_{\text{newt}}\cdot Q=120387\cdot0{,}100\approx12038{,}7\\ \mathrm{W}=12{,}04\\ \mathrm{kW}.
Comentário didático: observe que, neste caso, o fluido newtoniano tem viscosidade aparente muito maior que a do caso pseudoplástico (quando calculada na parede), resultando em perda de carga maior e potência de bomba maior (aqui \sim12{,}0\\ \mathrm{kW} vs \sim5{,}37\\ \mathrm{kW} se quisermos comparar potência para vencer a perda calculada no caso pseudoplástico).

Resposta

\Delta P_{\text{escoamento (pseudoplástico)}}\approx53{,}66\\ \mathrm{kPa}á
P_{\text{bomba para }\Delta P=900\\ \mathrm{kPa}}=90{,}0\\ \mathrm{kW}
P_{\text{bomba (newtoniano, }\mu=0{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot s})}\approx12{,}04\\ \mathrm{kW}

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