1- Em uma indústria alimentícia, um alimento líquido, a
é transportado com uma vazão mássica de
em uma tubulação de aço comercial com 5 polegadas de diâmetro interno e 20 m de comprimento. O fluido alimentício, nessa temperatura, apresenta densidade de
e comportamento reológico pseudoplástico, sem tensão de cisalhamento inicial, com índice de consistência igual a
índice de comportamento igual a 0,5 . Determine a perda de carga ao longo do escoamento. Qual a potência da bomba para uma queda de pressão na tubulação de 900 kPa ? Caso o fluido fosse newtoniano(admitir a viscosidade dinâmica igual a
e
) qual seria a potência da bomba?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
- Vazão mássica:
. - Diâmetro interno da tubulação:
polegadas . - Comprimento da tubulação:
. - Temperatura do alimento (apenas informe):
(usada só para justificar propriedades fornecidas). - Densidade do fluido:
. - Fluido pseudoplástico (modelo potência) sem tensão de escoamento inicial, com:
- índice de consistência
, - índice de comportamento
.
- índice de consistência
- Perguntas:
- Determinar a perda de carga (queda de pressão) ao longo do escoamento na tubulação (para o fluido pseudoplástico com os dados acima).
- Qual a potência da bomba para uma queda de pressão na tubulação de
? - Se o fluido fosse newtoniano (viscosidade dinâmica
e ), qual seria a potência da bomba?
Observações que vou usar (sem resolver ainda): a vazão mássica deve ser convertida em vazão volumétrica e velocidade média; para fluido potência uso a definição de “taxa de cisalhamento nominal na parede” de Metzner–Reed para obter viscosidade aparente; usarei a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga:
. Vou explicar cada conceito quando necessário.
Passo 2
Converter a vazão mássica em vazão volumétrica e calcular a velocidade média
.
- Primeiro a vazão mássica em
:
- Vazão volumétrica:
- Área da seção transversal (tubo circular):
- Velocidade média:
Explicação rápida (didática): a velocidade média é o volume por unidade de tempo dividido pela área do tubo — isso é o que aparece nas fórmulas de perda de carga da hidráulica.
Passo 3
Para o fluido potência (modelo de Ostwald–de Waele) precisamos de uma viscosidade “aparente” para poder usar fórmulas semelhantes às dos fluidos newtonianos. Primeiro defino a taxa de cisalhamento nominal na parede
usada por Metzner–Reed:
Essa fórmula dá uma estimativa prática da taxa de cisalhamento na parede em função da velocidade média; é comum em problemas de escoamento em condutos para fluido potência.
Para
:
Logo
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular a viscosidade aparente no ponto de parede para o fluido potência. Para o modelo potência a viscosidade aparente é
Aqui
. Então:
Calcule:
Explicação didática: para um fluido que afina com a taxa de cisalhamento (n<1), quanto maior a taxa de cisalhamento, menor a viscosidade aparente; aqui a viscosidade aparente ficou bem menor que
.
Passo 5
Avaliar o regime de escoamento e escolher expressão para o fator de atrito
.
- Reynolds aparente usando
:
Calcule o numerador:
Logo
Interpretação: é um número de Reynolds bem grande → escoamento plenamente turbulento.
Escolha do modelo para
: para regime turbulento em tubos lisos, uma aproximação simples e prática é a correlação de Blasius:
válida empiricamente em um intervalo de Reynolds turbulento (aqui usamos
como aproximante). Observação: existem correlações específicas para não-newtonianos (Dodge–Metzner), mas a prática industrial muitas vezes usa a viscosidade aparente
e aplica Blasius/Colebrook com essa Re aparente; farei isso e avisarei que é aproximação razoável.
Aplicando Blasius:
Calcule:
Passo 6
Calcular a perda de carga usando Darcy–Weisbach:
- Primeiro
:
- Razão
:
- Agora
:
Convertendo:
Interpretação: a perda de carga ao longo dos
para o fluido pseudoplástico, com as aproximações adotadas (viscosidade aparente + Blasius), é cerca de
.
Passo 7
Potência hidráulica da bomba para uma diferença de pressão dada. A potência hidráulica (ideal, sem perdas mecânicas ou eficiência) é:
Para
e
:
Explicação: a potência necessária para vencer uma queda de pressão é simplesmente pressão multiplicada pela vazão volumétrica; se houver eficiência de bomba, dividir por ela (não fornecida aqui).
Passo 8
Calcular a situação se o fluido fosse newtoniano com
(e
). Vou repetir os passos relevantes:
- Reynolds (newtoniano):
- Escolhendo novamente Blasius (regime turbulento, Re>4000), obtenho:
Calculando:
- Agora a perda de carga:
- Potência da bomba para vencer essa perda (potência hidráulica):
Comentário didático: observe que, neste caso, o fluido newtoniano tem viscosidade aparente muito maior que a do caso pseudoplástico (quando calculada na parede), resultando em perda de carga maior e potência de bomba maior (aqui
vs
se quisermos comparar potência para vencer a perda calculada no caso pseudoplástico).