50-A tensão total e a corrente resultante em um circuito série de dois elementos puros são: \mathrm{v}_{\mathrm{T}}=255 \operatorname{sen}\left(300 \mathrm{t}+45^{\circ}\right) e \mathrm{i}=8,5 \operatorname{sen}\left(300 \mathrm{t}+15^{\circ}\right). Determinar os elementos que constituem o circuito.

Passo 1

O enunciado pede: determinar quais elementos (dois elementos puros em série) constituem o circuito, usando as formas temporais dadas. As informações fornecidas são:
\mathrm{v}_{\mathrm{T}}=255\operatorname{sen}\!\bigl(300t+45^\circ\bigr)
\mathrm{i}=8,5\operatorname{sen}\!\bigl(300t+15^\circ\bigr)
Dados extraídos do enunciado: amplitude de \mathrm{v}_{\mathrm{T}} é 255, amplitude de \mathrm{i} é 8,5, as fases são 45^\circ e 15^\circ respectivamente, e a pulsação é \omega=300\\ \mathrm{rad/s}. A pergunta é: quais os dois elementos puros (R, L ou C) em série e quais seus valores?

Passo 2

Transformar senóides em fasores (explicação didática curta): para uma grandeza do tipo A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi) podemos representar por um fasor de amplitude (peak) A e ângulo \varphi, escrito A\angle\varphi. Usamos os mesmos tipos de amplitude para tensão e corrente (pico) para calcular impedâncias diretamente. Assim:
\underline{V}=255\angle 45^\circ,\qquad \underline{I}=8,5\angle 15^\circ.
Observação: aqui o símbolo \underline{V} e \underline{I} representam os fasores (números complexos que guardam amplitude e fase).

Passo 3

Calcular a impedância equivalente em série usando \underline{Z}=\dfrac{\underline{V}}{\underline{I}} (a ideia: impedância relaciona fasor tensão ao fasor corrente):
\underline{Z}=\frac{255\angle 45^\circ}{8,5\angle 15^\circ}=\frac{255}{8,5}\angle(45^\circ-15^\circ).
Fazendo as contas:
\frac{255}{8,5}=30,\qquad 45^\circ-15^\circ=30^\circ,
logo
\underline{Z}=30\angle 30^\circ.
Interpretação física: o ângulo da impedância é \varphi_Z=30^\circ, isto é, a tensão total está adiantada em 30^\circ em relação à corrente — sinal de reatância indutiva líquida (explico melhor adiante).

Passo 4

Converter \underline{Z} para forma retangular (parte real + j parte imaginária) para identificar resistor e reatância:
\underline{Z}=30(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ).
Usando valores exatos:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2},
então
\underline{Z}=30\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{1}{2}\Bigr)=15\sqrt{3}+j\,15\\ \\ (\Omega).
Explicação didática: a parte real \Re(\underline{Z}) corresponde à resistência R (comportamento dissipativo); a parte imaginária \Im(\underline{Z}) corresponde à reatância X (comportamento armazenador de energia). Aqui \Im(\underline{Z})=+15\\ \Omega (positiva), o que indica reatância indutiva (porque X_L=+\omega L é positiva; X_C=-1/(\omega C) é negativa). Portanto o circuito é formado por um resistor R em série com um indutor L.

Passo 5

Determinar os valores numéricos dos elementos:
  • Resistência:
R=\Re(\underline{Z})=15\sqrt{3}\\ \Omega\approx 25,98\\ \Omega.
  • Reactância indutiva:
X_L=\Im(\underline{Z})=15\\ \Omega.
Relação entre reactância indutiva e indutância: X_L=\omega L. Como \omega=300\\ \mathrm{rad/s}, isolamos L:
L=\frac{X_L}{\omega}=\frac{15}{300}=0,05\\ \mathrm{H}=50\\ \mathrm{mH}.
Breve lembrete prático: 1\,\mathrm{H}=1000\,\mathrm{mH}, por isso 0,05\,\mathrm{H}=50\,\mathrm{mH}.

Passo 6

Resumo físico-final e checagem rápida: a impedância tem parte imaginária positiva, logo o elemento reativo é indutivo. Os dois elementos puros em série são, portanto, um resistor e um indutor. Valores obtidos:
R=15\sqrt{3}\\ \Omega\\ (\approx 25,98\\ \Omega),\qquad L=0,05\\ \mathrm{H}\\ (50\\ \mathrm{mH}).

Resposta

R=15\sqrt{3}\\ \Omega\\ (\approx 25,98\\ \Omega)
L=0,05\\ \mathrm{H}\\ (50\\ \mathrm{mH})

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