50-A tensão total e a corrente resultante em um circuito série de dois elementos puros são: \mathrm{v}_{\mathrm{T}}=255 \operatorname{sen}\left(300 \mathrm{t}+45^{\circ}\right) e \mathrm{i}=8,5 \operatorname{sen}\left(300 \mathrm{t}+15^{\circ}\right). Determinar os elementos que constituem o circuito.
Passo 1
O enunciado pede: determinar quais elementos (dois elementos puros em série) constituem o circuito, usando as formas temporais dadas. As informações fornecidas são:
Dados extraídos do enunciado: amplitude de \mathrm{v}_{\mathrm{T}} é 255, amplitude de \mathrm{i} é 8,5, as fases são 45^\circ e 15^\circ respectivamente, e a pulsação é \omega=300\\ \mathrm{rad/s}. A pergunta é: quais os dois elementos puros (R, L ou C) em série e quais seus valores?
Passo 2
Transformar senóides em fasores (explicação didática curta): para uma grandeza do tipo A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi) podemos representar por um fasor de amplitude (peak) A e ângulo \varphi, escrito A\angle\varphi. Usamos os mesmos tipos de amplitude para tensão e corrente (pico) para calcular impedâncias diretamente. Assim:
Observação: aqui o símbolo \underline{V} e \underline{I} representam os fasores (números complexos que guardam amplitude e fase).
Passo 3
Calcular a impedância equivalente em série usando \underline{Z}=\dfrac{\underline{V}}{\underline{I}} (a ideia: impedância relaciona fasor tensão ao fasor corrente):
Interpretação física: o ângulo da impedância é \varphi_Z=30^\circ, isto é, a tensão total está adiantada em 30^\circ em relação à corrente — sinal de reatância indutiva líquida (explico melhor adiante).
Passo 4
Converter \underline{Z} para forma retangular (parte real + j parte imaginária) para identificar resistor e reatância:
Explicação didática: a parte real \Re(\underline{Z}) corresponde à resistência R (comportamento dissipativo); a parte imaginária \Im(\underline{Z}) corresponde à reatância X (comportamento armazenador de energia). Aqui \Im(\underline{Z})=+15\\ \Omega (positiva), o que indica reatância indutiva (porque X_L=+\omega L é positiva; X_C=-1/(\omega C) é negativa). Portanto o circuito é formado por um resistor R em série com um indutor L.
Breve lembrete prático: 1\,\mathrm{H}=1000\,\mathrm{mH}, por isso 0,05\,\mathrm{H}=50\,\mathrm{mH}.
Passo 6
Resumo físico-final e checagem rápida: a impedância tem parte imaginária positiva, logo o elemento reativo é indutivo. Os dois elementos puros em série são, portanto, um resistor e um indutor. Valores obtidos: