52-Dois elementos puros, R=12 ohms e C=31,3 \mu F, são ligados em série com uma tensão aplicada v=100 \cos \left(2000 t-20^{\circ}\right). Os dois elementos são, então, ligados em paralelo com a mesma tensão. Calcular a corrente total em cada ligação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a corrente total quando os dois elementos — um resistor R e um capacitor C — são (a) ligados em série e (b) ligados em paralelo, sob a mesma tensão aplicada
A tensão dada é v=100\cos\!\bigl(2000t-20^\circ\bigr).
Dados fornecidos:
R=12\\ \Omega,\qquad C=31{,}3\\ \mu\text{F}=31{,}3\times10^{-6}\\ \text{F},
v(t)=100\cos\!\bigl(2000t-20^\circ\bigr).
Perguntas explícitas que vamos responder:
  • Qual a corrente total quando R e C estão em série?
  • Qual a corrente total quando R e C estão em paralelo?

Passo 2

Entender as ferramentas que vamos usar (rápido e prático): para circuitos com tensões senoidais usamos fasores e impedâncias complexas. Vou explicar cada fórmula que uso.
Definições importantes:
  • A frequência angular é \omega. Aqui \omega=2000\\ \text{rad/s} (vem do argumento do cosseno).
  • Impedância do resistor:
Z_R=R.
  • Impedância do capacitor:
Z_C=\frac{1}{j\omega C},
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Essa fórmula vem da transformada do comportamento do capacitor em regime senoidal: a corrente está defasada de +90^\circ em relação à tensão do capacitor, o que aparece como um termo -j na impedância.
  • Relação fasorial entre tensão e corrente:
I=\frac{V}{Z},
onde V e I são fasores (amplitude e ângulo), e Z é a impedância total.
Calculemos primeiro a impedância do capacitor numericamente.
Calcule \omega C:
\omega C = 2000\cdot 31{,}3\times10^{-6}=0{,}0626.
Então a reatância capacitiva (módulo de Z_C) é
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{0{,}0626}\approx15{,}974\\ \Omega.
A impedância do capacitor é, portanto,
Z_C = -j\,15{,}974\\ \Omega.

Passo 3

Caso 1: elementos em série.
A impedância série é soma das impedâncias:
Z_{s}=Z_R+Z_C=12 - j\,15{,}974\\ \Omega.
Vamos achar magnitude e ângulo de Z_s. Magnitude:
|Z_s|=\sqrt{12^2+15{,}974^2}=\sqrt{144+255{,}17}\approx19{,}98\\ \Omega.
Ângulo (argumento) de Z_s:
\angle Z_s=\arctan\!\left(\frac{\Im\{Z_s\}}{\Re\{Z_s\}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-15{,}974}{12}\right)\approx-53{,}3^\circ.
Logo podemos escrever
Z_s\approx19{,}98\angle -53{,}3^\circ\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a corrente série usando a fórmula fasorial \;I=\dfrac{V}{Z}\;. O fasor da tensão (amplitude de pico) é
V=100\angle -20^\circ.
Então a corrente em série (mesma corrente pelos dois elementos) é
I_s=\frac{V}{Z_s}=\frac{100\angle -20^\circ}{19{,}98\angle -53{,}3^\circ}=\frac{100}{19{,}98}\angle(-20^\circ-(-53{,}3^\circ)).
Calcule magnitude e ângulo:
\frac{100}{19{,}98}\approx5{,}00,\qquad -20^\circ+53{,}3^\circ=33{,}3^\circ.
Logo o fasor da corrente série é
I_s\approx5{,}00\angle 33{,}3^\circ\\ \text{A}.
Convertendo para o domínio do tempo (como cosseno, consistente com o enunciado):
i_s(t)=5{,}00\cos\!\bigl(2000t+33{,}3^\circ\bigr)\\ \text{A}.

Passo 5

Caso 2: elementos em paralelo. Aqui a tensão em cada ramo é a mesma e igual à tensão aplicada, logo cada ramo tem sua corrente obtida por
I_R=\frac{V}{Z_R},\qquad I_C=\frac{V}{Z_C},
e a corrente total é a soma fasorial:
I_{\text{tot}}=I_R+I_C.
Calculemos I_R e I_C separadamente.
Para o resistor:
Z_R=12\\ \Omega\quad\Rightarrow\quad I_R=\frac{100\angle -20^\circ}{12\angle 0^\circ}=8{,}33\angle -20^\circ\\ \text{A}.
Para o capacitor usamos Z_C=15{,}974\angle -90^\circ (pois -j=1\angle -90^\circ):
I_C=\frac{100\angle -20^\circ}{15{,}974\angle -90^\circ}=\frac{100}{15{,}974}\angle(-20^\circ-(-90^\circ))\approx6{,}26\angle 70^\circ\\ \text{A}.

Passo 6

Agora somamos fasores I_R e I_C em forma retangular para obter I_{\text{tot}}. Primeiro convertemos para coordenadas retangulares (parte real + j parte imaginária).
Para I_R=8{,}33\angle -20^\circ:
\Re\{I_R\}=8{,}33\cos(-20^\circ)=8{,}33\cdot0{,}9397\approx7{,}83,
\Im\{I_R\}=8{,}33\sin(-20^\circ)=8{,}33\cdot(-0{,}3420)\approx-2{,}85.
Para I_C=6{,}26\angle 70^\circ:
\Re\{I_C\}=6{,}26\cos(70^\circ)=6{,}26\cdot0{,}3420\approx2{,}14,
\Im\{I_C\}=6{,}26\sin(70^\circ)=6{,}26\cdot0{,}9397\approx5{,}88.
Somando componentes:
\Re\{I_{\text{tot}}\}=7{,}83+2{,}14\approx9{,}97,
\Im\{I_{\text{tot}}\}=-2{,}85+5{,}88\approx3{,}03.
Magnitude e ângulo de I_{\text{tot}}:
|I_{\text{tot}}|=\sqrt{9{,}97^2+3{,}03^2}\approx10{,}42\\ \text{A},
\angle I_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\frac{3{,}03}{9{,}97}\right)\approx16{,}9^\circ.
Portanto, em fasor:
I_{\text{tot}}\approx10{,}42\angle 16{,}9^\circ\\ \text{A},
e em domínio do tempo:
i_{\text{tot}}(t)=10{,}42\cos\!\bigl(2000t+16{,}9^\circ\bigr)\\ \text{A}.

Resposta

Série: \;I_s\approx5{,}00\angle33{,}3^\circ\\ \text{A}\; (ou i_s(t)=5{,}00\cos(2000t+33{,}3^\circ)\\ \text{A}).
Paralelo: \;I_{\text{tot}}\approx10{,}42\angle16{,}9^\circ\\ \text{A}\; (ou i_{\text{tot}}(t)=10{,}42\cos(2000t+16{,}9^\circ)\\ \text{A}).

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