46-A corrente em uma indutância pura de L=0,01 H é i=5 \cos 2000 t. Qual é a tensão?

Passo 1

Dados fornecidos:
L=0{,}01\\ \text{H}
i(t)=5\cos(2000\,t)\\ \text{A}
O que o enunciado pede:
Determinar a tensão v(t) na indutância (ou seja, a tensão em função do tempo).

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar:
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}
Explicação dessa fórmula:
  • \;v(t)\; é a tensão em volts ( \text{V}).
  • \;L\; é a indutância em henrys ( \text{H}).
  • \;i(t)\; é a corrente em ampères ( \text{A}).
    A relação vem da definição de indutor: a tensão é proporcional à taxa de variação da corrente. Em termos de unidades: \text{H}\times\frac{\text{A}}{\text{s}}=\text{V}, então faz sentido fisicamente.

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{di(t)}{dt}.
Regra que usamos (regra da cadeia): para \dfrac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big) = -\omega \sin(\omega t).
Aqui \omega=2000 e a amplitude é 5. Portanto,
\frac{di(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\big(5\cos(2000\,t)\big)=5\cdot\big(-2000\sin(2000\,t)\big).
Fazendo as contas:
\frac{di(t)}{dt}=-10000\sin(2000\,t)\\ \text{A/s}.

Passo 4

Aplicar v(t)=L\frac{di}{dt} com L=0{,}01.
v(t)=0{,}01\cdot\big(-10000\sin(2000\,t)\big)=-100\sin(2000\,t)\\ \text{V}.
Verificação rápida das contas: 0{,}01\times10000=100, o sinal negativo permanece.

Passo 5

Forma alternativa (útil em análise de fasores / fases):
Usamos a identidade \;-\sin(\theta)=\cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})\;. Assim,
v(t)=100\cos\big(2000\,t+\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \text{V}.
Interpretação de fase (explicação didática): comparando com i(t)=5\cos(2000t), vemos que a tensão no indutor tem a mesma frequência e está defasada de +\tfrac{\pi}{2} rad (ou +90^\circ) em relação à corrente — ou seja, a tensão “antecipa” (lead) a corrente por 90^\circ, que é a característica dos indutores.

Resposta

v(t)=-100\sin(2000\,t)\\ \text{V}
v(t)=100\cos\big(2000\,t+\tfrac{\pi}{2}\big)\\ \text{V}

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