1.51 Considere a matriz:
A=\left(\begin{array}{cc} 0 & x \\\\ 1 / x & 0 \end{array}\right) .
Determinar os valores de x para os quais A^{2}=I.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & x \\\ \dfrac{1}{x} & 0\end{pmatrix}
e pede: determinar os valores de x para os quais A^{2}=I, onde I é a matriz identidade 2\times2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A entrada \dfrac{1}{x} exige que x\neq0 (caso contrário a matriz não está definida).
  • A condição a verificar é A^{2}=I, isto é, o produto A\cdot A deve ser igual a
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 2

O que significa calcular A^{2}? Significa multiplicar a matriz A por ela mesma: A^{2}=A\cdot A.
Pequena revisão (como multiplicar duas matrizes 2\times2): se
B=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}e & f \\\ g & h\end{pmatrix},
então o produto BC é a matriz cujas entradas são dadas por
BC=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}.
Cada entrada do produto é uma soma de produtos: linha de B vezes coluna de C.

Passo 3

Aplique a fórmula ao caso A\cdot A. Escrevendo explicitamente,
A=\begin{pmatrix}0 & x \\\ \dfrac{1}{x} & 0\end{pmatrix}, \qquad A^{2}=A\cdot A= \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + x\cdot \dfrac{1}{x} & 0\cdot x + x\cdot 0\\[6pt] \dfrac{1}{x}\cdot 0 + 0\cdot \dfrac{1}{x} & \dfrac{1}{x}\cdot x + 0\cdot 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora simplificamos cada entrada, lembrando que multiplicação por zero dá zero e que, quando x\neq0, vale x\cdot\dfrac{1}{x}=1:
  • entrada (1,1): 0\cdot0 + x\cdot\dfrac{1}{x}=1 (desde que x\neq0);
  • entrada (1,2): 0\cdot x + x\cdot 0 = 0;
  • entrada (2,1): \dfrac{1}{x}\cdot 0 + 0\cdot \dfrac{1}{x}=0;
  • entrada (2,2): \dfrac{1}{x}\cdot x + 0\cdot 0 =1 (desde que x\neq0).
Portanto, para x\neq0 obtemos
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I.

Passo 5

Conclusão: a igualdade A^{2}=I é satisfeita sempre que as operações são válidas, ou seja, para todo x tal que x\neq0. (Se x=0 a matriz original não está definida por conter \dfrac{1}{x}.)

Resposta

x\neq 0

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