1.49 Escrever uma matriz A=\left(a_{i j}\right) \in \mathcal{M}_{2 \times 3} e uma matriz B=\left(b_{i j}\right) \in \mathcal{M}_{3 \times 3}, definidas do seguinte modo:
a_{i j}=2 i+3 j-4, \quad b_{i j}=\left\{\begin{array}{l} 2 i+j, \text { se } i=j \\\\ 2 i-j, \text { se } i \neq j \end{array}\right.
Calcular A B. É possível calcular B A ?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes definidas por fórmulas e pede que calculemos [A B) e verifiquemos se é possível calcular B A.
Informações fornecidas:
  • A=\left(a_{i j}\right)\in\mathcal{M}_{2\times3} com
a_{i j}=2i+3j-4,\qquad i=1,2,\; j=1,2,3.
  • B=\left(b_{i j}\right)\in\mathcal{M}_{3\times3} com
b_{i j}=\begin{cases} 2i+j, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2i-j, & \text{se } i\neq j, \end{cases} \qquad i,j=1,2,3.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a matriz A B\]. - Dizer se é possível calcular \(B A.]

Passo 2

Vamos primeiro escrever as matrizes A e B explicitamente, avaliando as fórmulas para cada par (i,j).
Calcular os elementos de A:
\begin{aligned} a_{11}&=2\cdot1+3\cdot1-4=2+3-4=1,\\\ a_{12}&=2\cdot1+3\cdot2-4=2+6-4=4,\\\ a_{13}&=2\cdot1+3\cdot3-4=2+9-4=7,\\[4pt] a_{21}&=2\cdot2+3\cdot1-4=4+3-4=3,\\\ a_{22}&=2\cdot2+3\cdot2-4=4+6-4=6,\\\ a_{23}&=2\cdot2+3\cdot3-4=4+9-4=9. \end{aligned}
Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\[4pt] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calcular os elementos de B. Lembre que na diagonal usamos b_{ii}=2i+i=3i e fora da diagonal b_{ij}=2i-j.
\begin{aligned} b_{11}&=3\cdot1=3, & b_{12}&=2\cdot1-2=0, & b_{13}&=2\cdot1-3=-1,\\[4pt] b_{21}&=2\cdot2-1=3, & b_{22}&=3\cdot2=6, & b_{23}&=2\cdot2-3=1,\\[4pt] b_{31}&=2\cdot3-1=5, & b_{32}&=2\cdot3-2=4, & b_{33}&=3\cdot3=9. \end{aligned}
Logo
B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\[4pt] 3 & 6 & 1\\[4pt] 5 & 4 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Antes de multiplicar, explico a regra de multiplicação de matrizes de forma didática: se A é 2\times3 e B é 3\times3, então AB existe e é 2\times3. O elemento (AB)_{ik} é dado por
(AB)_{ik}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,b_{jk},
ou seja, multiplicamos elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes da k-ésima coluna de B e somamos. Aqui o índice j corre sobre as colunas de A (que coincide com as linhas de B).
Vou calcular cada entrada de AB passo a passo.

Passo 5

Calcular (AB)_{11}:
\begin{aligned} (AB)_{11}&=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}\\[4pt] &=1\cdot3+4\cdot3+7\cdot5\\[4pt] &=3+12+35=50. \end{aligned}]

Passo 6

Calcular (AB)_{12}:
\begin{aligned} (AB)_{12}&=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\[4pt] &=1\cdot0+4\cdot6+7\cdot4\\[4pt] &=0+24+28=52. \end{aligned}]

Passo 7

Calcular (AB)_{13}:
\begin{aligned} (AB)_{13}&=a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}\\[4pt] &=1\cdot(-1)+4\cdot1+7\cdot9\\[4pt] &=-1+4+63=66. \end{aligned}]

Passo 8

Calcular (AB)_{21}:
\begin{aligned} (AB)_{21}&=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}\\[4pt] &=3\cdot3+6\cdot3+9\cdot5\\[4pt] &=9+18+45=72. \end{aligned}]

Passo 9

Calcular (AB)_{22}:
\begin{aligned} (AB)_{22}&=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\\[4pt] &=3\cdot0+6\cdot6+9\cdot4\\[4pt] &=0+36+36=72. \end{aligned}]

Passo 10

Calcular (AB)_{23}:
\begin{aligned} (AB)_{23}&=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}\\[4pt] &=3\cdot(-1)+6\cdot1+9\cdot9\\[4pt] &=-3+6+81=84. \end{aligned}]

Passo 11

Reunindo todos os elementos obtidos, a matriz AB é
AB=\begin{pmatrix} 50 & 52 & 66\\[4pt] 72 & 72 & 84 \end{pmatrix}.
Agora sobre BA: para calcular BA precisaríamos multiplicar B (que é 3\times3) por A (que é 2\times3). A multiplicação só existe se o número de colunas de B (que é 3) for igual ao número de linhas de A (que é 2). Como 3\neq2, a multiplicação BA não é definida.]

Resposta

AB=\begin{pmatrix} 50 & 52 & 66\\[4pt] 72 & 72 & 84 \end{pmatrix}
Não é possível calcular BA (dimensões incompatíveis: número de colunas de B é 3, número de linhas de A é 2).]

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