Isso está na forma geral das cônicas \,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,, portanto:
A=29,
B=-24,
C=36,
D=-10,
E=120,
F=126.
O pedido: “Reconheça a cônica” — ou seja, determine de que tipo de cônica se trata (parábola, elipse, hipérbole, circunferência, ou degenerate/imaginary, etc.).
Passo 2
Primeiro critério rápido: usar o discriminante das cônicas \Delta_{\text{conic}}=B^{2}-4AC. Esse discriminante indica:
se \Delta_{\text{conic}}<0 → elipse (ou círculo) ou elipse imaginária;
Como \Delta_{\text{conic}}<0, a cônica é do tipo elipse (ou círculo) — ainda precisamos saber se é uma elipse real (com pontos) ou uma elipse imaginária (sem pontos reais), e também se é degenerada. Para isso vamos aprofundar.
Passo 3
Achar o centro da cônica (se houver) ajuda muito. O centro (x_0,y_0)\) de uma cônica quadrática não degenerada satisfaz o sistema obtido anulando as derivadas parciais (ou seja, resolvendo \(2Q\mathbf{x}+ \mathbf{b}=\mathbf{0}\)), onde
\[Q=\begin{pmatrix}A & B/2\\[4pt] B/2 & C\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}D\\[4pt]E\end{pmatrix}.
Esse sistema é explicitamente
\begin{cases} 2A x + B y + D = 0,\\[4pt] B x + 2C y + E = 0. \end{cases}
Agora precisamos eliminar o termo misto XY por rotação (diagonalizar a forma quadrática). Isso equivale a encontrar os autovalores (eixos principais) da matriz Q:
Após a rotação adequada (variáveis (u,v) ao longo dos eixos principais) a equação transladada fica
\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}+17=0,
isto é
45u^{2}+20v^{2}+17=0.]
Passo 6
Interpretação final: a forma diagonalizada é
45u^{2}+20v^{2} = -17.
O lado esquerdo é sempre \ge 0 (pois os coeficientes \lambda_{1},\lambda_{2} são positivos), enquanto o lado direito é -17<0. Não existem (u,v) reais que satisfaçam essa igualdade. Portanto não há pontos reais que satisfaçam a equação original: trata-se de uma elipse imaginária (elipse sem pontos reais), não degenerada (verificamos que a matriz M 3×3 associada tem determinante diferente de zero — a equação não é degenerada).
Resumo das conclusões importantes:
\Delta_{\text{conic}}= -3600<0 → tipo elipse/círculo;
a forma quadrática é definida positiva (\lambda_{1}=45>0,\\ \lambda_{2}=20>0);
após translação o termo constante é 17>0, o que leva a \lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}=-17, impossível em reais;
portanto a cônica é uma elipse imaginária (sem pontos reais). Fornecemos também o centro: \left(-\dfrac{3}{5},-\dfrac{28}{15}\right).