Reconheça as seguintes cônicas:
(h) 29 x^{2}-24 x y+36 y^{2}-10 x+120 y+126=0;

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Equação dada: \,29x^{2}-24xy+36y^{2}-10x+120y+126=0\,.
  • Isso está na forma geral das cônicas \,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,, portanto:
    • A=29,
    • B=-24,
    • C=36,
    • D=-10,
    • E=120,
    • F=126.
  • O pedido: “Reconheça a cônica” — ou seja, determine de que tipo de cônica se trata (parábola, elipse, hipérbole, circunferência, ou degenerate/imaginary, etc.).

Passo 2

Primeiro critério rápido: usar o discriminante das cônicas \Delta_{\text{conic}}=B^{2}-4AC. Esse discriminante indica:
  • se \Delta_{\text{conic}}<0 → elipse (ou círculo) ou elipse imaginária;
  • se \Delta_{\text{conic}}=0 → parábola;
  • se \Delta_{\text{conic}}>0 → hipérbole.
Calculemos:
\Delta_{\text{conic}} = (-24)^{2}-4\cdot29\cdot36 = 576-4\cdot1044 = 576-4176 = -3600.
Como \Delta_{\text{conic}}<0, a cônica é do tipo elipse (ou círculo) — ainda precisamos saber se é uma elipse real (com pontos) ou uma elipse imaginária (sem pontos reais), e também se é degenerada. Para isso vamos aprofundar.

Passo 3

Achar o centro da cônica (se houver) ajuda muito. O centro (x_0,y_0)\) de uma cônica quadrática não degenerada satisfaz o sistema obtido anulando as derivadas parciais (ou seja, resolvendo \(2Q\mathbf{x}+ \mathbf{b}=\mathbf{0}\)), onde \[Q=\begin{pmatrix}A & B/2\\[4pt] B/2 & C\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}D\\[4pt]E\end{pmatrix}.
Esse sistema é explicitamente
\begin{cases} 2A x + B y + D = 0,\\[4pt] B x + 2C y + E = 0. \end{cases}
Substituindo nossos valores:
\begin{cases} 58x -24y -10 = 0,\\[4pt] -24x +72y +120 = 0. \end{cases}
Colocando no formato linear homogêneo à direita:
\begin{cases} 58x -24y = 10,\\[4pt] -24x +72y = -120. \end{cases}
Resolvendo por eliminação: multiplicando a primeira por (3] e somando com a segunda:
174x -72y = 30
(-24x+72y) + (174x-72y) = -120 +30 \quad\Rightarrow\quad 150x = -90 \quad\Rightarrow\quad x_0 = -\dfrac{3}{5}.
Substituindo em uma equação:
58\left(-\dfrac{3}{5}\right)-24y = 10 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{174}{5}-24y=10
-24y = 10 + \dfrac{174}{5} = \dfrac{50+174}{5}=\dfrac{224}{5}\quad\Rightarrow\quad y_0 = -\dfrac{224}{5\cdot24} = -\dfrac{28}{15}.
Portanto o centro é
\left(x_0,y_0\right)=\left(-\dfrac{3}{5},-\dfrac{28}{15}\right).]

Passo 4

Translado para o centro: defina \,X=x-x_0, \,Y=y-y_0. Ao fazer a translação, os termos lineares desaparecem e a equação fica na forma
\begin{pmatrix}X & Y\end{pmatrix} Q \begin{pmatrix}X\\[4pt]Y\end{pmatrix} + F_{\text{c}} = 0,
onde
F_{\text{c}} = x_0^{T} Q x_0 + D x_0 + E y_0 + F.
Vamos calcular F_{\text{c}} em frações exatas. Primeiro o termo quadrático em x_0,y_0:
q = 29x_0^{2}-24x_0y_0+36y_0^{2}.
Com x_0=-\dfrac{3}{5} e y_0=-\dfrac{28}{15} temos
x_0^{2}=\dfrac{9}{25},\quad y_0^{2}=\dfrac{784}{225},\quad x_0y_0=\dfrac{28}{25}.
Logo
q = 29\cdot\dfrac{9}{25} -24\cdot\dfrac{28}{25} +36\cdot\dfrac{784}{225} = \dfrac{261-672+3136}{25} = \dfrac{2725}{25}=109.
O termo linear em x_0,y_0 é
D x_0 + E y_0 = -10\left(-\dfrac{3}{5}\right) + 120\left(-\dfrac{28}{15}\right) = 6 -224 = -218.
Então
F_{\text{c}} = q + (D x_0 + E y_0) + F = 109 -218 +126 = 17.
A equação transladada fica
29X^{2}-24XY+36Y^{2}+17=0,
ou, escrevendo apenas a parte quadrática e o termo constante,
\underbrace{(29X^{2}-24XY+36Y^{2})}_{\text{forma quadrática}} + 17 = 0.á]

Passo 5

Agora precisamos eliminar o termo misto XY por rotação (diagonalizar a forma quadrática). Isso equivale a encontrar os autovalores (eixos principais) da matriz Q:
Q=\begin{pmatrix}29 & -12\\[4pt] -12 & 36\end{pmatrix}.
Os autovalores \lambda resolvem \det(Q-\lambda I)=0. O polinômio característico é
\lambda^{2} - \operatorname{tr}(Q)\lambda + \det(Q) = 0,
com \operatorname{tr}(Q)=29+36=65 e \det(Q)=29\cdot36-(-12)^{2}=1044-144=900. Assim
\lambda^{2}-65\lambda+900=0.
O discriminante é 65^{2}-4\cdot900=4225-3600=625, então
\lambda = \frac{65\pm\sqrt{625}}{2} = \frac{65\pm25}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=45,\qquad \lambda_{2}=20.
Após a rotação adequada (variáveis (u,v) ao longo dos eixos principais) a equação transladada fica
\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}+17=0,
isto é
45u^{2}+20v^{2}+17=0.]

Passo 6

Interpretação final: a forma diagonalizada é
45u^{2}+20v^{2} = -17.
O lado esquerdo é sempre \ge 0 (pois os coeficientes \lambda_{1},\lambda_{2} são positivos), enquanto o lado direito é -17<0. Não existem (u,v) reais que satisfaçam essa igualdade. Portanto não há pontos reais que satisfaçam a equação original: trata-se de uma elipse imaginária (elipse sem pontos reais), não degenerada (verificamos que a matriz M 3×3 associada tem determinante diferente de zero — a equação não é degenerada).
Resumo das conclusões importantes:
  • \Delta_{\text{conic}}= -3600<0 → tipo elipse/círculo;
  • a forma quadrática é definida positiva ( \lambda_{1}=45>0,\\ \lambda_{2}=20>0);
  • após translação o termo constante é 17>0, o que leva a \lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}=-17, impossível em reais;
  • portanto a cônica é uma elipse imaginária (sem pontos reais). Fornecemos também o centro: \left(-\dfrac{3}{5},-\dfrac{28}{15}\right).

Resposta

Elipse imaginária (não possui pontos reais).

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