2.51. Considere uma partícula movendo-se coma energia potencial V(x)=A\left(2 e^{-2 \alpha x}-e^{-\alpha x}\right), com A e \alpha sendo constantes positivas. Essa energia potencial, conhecida como energia potencial de Morse, é uma boa aproximação para descrever a interação entre os átomos de algumas moléculas diatômicas.
b) Calcule o período do movimento no limite de pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbriuo estável.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de Morse
V(x)=A\left(2e^{-2\alpha x}-e^{-\alpha x}\right),
com A>0 e \alpha>0. Pede-se o período do movimento no limite de pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função V(x) é conhecida (Morse).
  • As constantes A e \alpha são positivas.
  • A massa da partícula será denotada por m (não fornecida numericamente no enunciado, ficará como variável).
  • O objetivo é obter o período T das pequenas oscilações ao redor do mínimo estável de V(x).

Passo 2

Ideia física e matemática usada para pequenas oscilações (aula rápida, passo a passo).
  • Quando uma partícula está próxima de um mínimo estável x_0 da energia potencial, a função V(x) pode ser aproximada por sua expansão de Taylor até segunda ordem em torno de x_0:
V(x)\approx V(x_0)+\tfrac{1}{2}V''(x_0)\,(x-x_0)^2,
porque V'(x_0)=0 no ponto de equilíbrio.
  • Essa forma quadrática é idêntica à energia potencial de um oscilador harmônico com constante elástica efetiva k=V''(x_0). Para esse oscilador a frequência angular é
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{V''(x_0)}{m}},
e o período é
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{V''(x_0)}}.
Portanto, a tarefa reduz-se a encontrar o ponto de equilíbrio x_0 (onde V'(x_0)=0) e calcular V''(x_0).

Passo 3

Cálculo de V'(x) e determinação do ponto de equilíbrio x_0.
  • Diferenciando V(x) em relação a x:
V'(x)=A\left(2\cdot(-2\alpha)e^{-2\alpha x}-(-\alpha)e^{-\alpha x}\right)=A\alpha\left(e^{-\alpha x}-4e^{-2\alpha x}\right).
  • Para o equilíbrio estável exige-se V'(x_0)=0. Colocando y=e^{-\alpha x_0}>0, a condição vira
y-4y^2=0 \quad\Rightarrow\quad y(1-4y)=0.
A solução física com y>0 é y=\tfrac{1}{4}. Assim
e^{-\alpha x_0}=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x_0=\dfrac{\ln 4}{\alpha}.

Passo 4

Cálculo de V''(x) (derivada segunda geral).
  • Derivando V'(x)=A\alpha\left(e^{-\alpha x}-4e^{-2\alpha x}\right) obtemos:
V''(x)=A\alpha\left(-\alpha e^{-\alpha x}+8\alpha e^{-2\alpha x}\right)=A\alpha^2\left(8e^{-2\alpha x}-e^{-\alpha x}\right).

Passo 5

Avaliação de V''(x) em x_0.
  • Usando e^{-\alpha x_0}=\tfrac{1}{4} e e^{-2\alpha x_0}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^2=\tfrac{1}{16}, substitui-se em V''(x):
V''(x_0)=A\alpha^2\left(8\cdot\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{4}\right)=A\alpha^2\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\right)=A\alpha^2\cdot\tfrac{1}{4}=\dfrac{A\alpha^2}{4}.

Passo 6

Obtenção do período T das pequenas oscilações.
  • Identificando a constante elástica efetiva k=V''(x_0)=\dfrac{A\alpha^2}{4} e usando T=2\pi\sqrt{m/k}, temos:
T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{V''(x_0)}}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{\dfrac{A\alpha^2}{4}}}=2\pi\sqrt{\dfrac{4m}{A\alpha^2}}.
  • Simplificando a raiz:
T=4\pi\,\dfrac{1}{\alpha}\sqrt{\dfrac{m}{A}}.

Resposta

T=\dfrac{4\pi}{\alpha}\sqrt{\dfrac{m}{A}}.

Exercícios relacionados