2.51. Considere uma partícula movendo-se coma energia potencial
, com
e
sendo constantes positivas. Essa energia potencial, conhecida como energia potencial de Morse, é uma boa aproximação para descrever a interação entre os átomos de algumas moléculas diatômicas.
b) Calcule o período do movimento no limite de pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbriuo estável.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial de Morse
com
e
. Pede-se o período do movimento no limite de pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
é conhecida (Morse). - As constantes
e são positivas. - A massa da partícula será denotada por
(não fornecida numericamente no enunciado, ficará como variável). - O objetivo é obter o período
das pequenas oscilações ao redor do mínimo estável de .
Passo 2
Ideia física e matemática usada para pequenas oscilações (aula rápida, passo a passo).
- Quando uma partícula está próxima de um mínimo estável
da energia potencial, a função pode ser aproximada por sua expansão de Taylor até segunda ordem em torno de :
porque
no ponto de equilíbrio.
- Essa forma quadrática é idêntica à energia potencial de um oscilador harmônico com constante elástica efetiva
. Para esse oscilador a frequência angular é
e o período é
Portanto, a tarefa reduz-se a encontrar o ponto de equilíbrio
(onde
) e calcular
.
Passo 3
Cálculo de
e determinação do ponto de equilíbrio
.
- Diferenciando
em relação a :
- Para o equilíbrio estável exige-se
. Colocando , a condição vira
A solução física com
é
. Assim
Passo 4
Cálculo de
(derivada segunda geral).
- Derivando
obtemos:
Passo 5
Avaliação de
em
.
- Usando
e , substitui-se em :
Passo 6
Obtenção do período
das pequenas oscilações.
- Identificando a constante elástica efetiva
e usando , temos:
- Simplificando a raiz: