2.42. Uma partícula \alpha num núcleo está sujeita a uma força cuja energia potencial é da forma V(x)= -\frac{8 V_{0} a^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)}{8 a^{4}+x^{4}}, one V_{0} e a são constantes positivas.
b) Determine a força que age sobre a partícula \alpha.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial da partícula \alpha em função da posição x:
V(x)= -\frac{8 V_{0} a^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)}{8 a^{4}+x^{4}},
onde V_{0} e a são constantes positivas. A pergunta (item b) pede: determinar a força que age sobre a partícula \alpha.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função potencial V(x) está completamente dada pela expressão acima.
  • V_{0} e a são constantes (portanto não dependem de x).
  • A força que age numa partícula em um potencial unidimensional é pedida.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (explicação didática):
  • Em mecânica clássica unidimensional, a força F(x) associada a um potencial V(x) é dada por
F(x) = -\frac{dV}{dx}.
Isto vem da definição do potencial como energia cuja variação espacial determina a força; o sinal negativo indica que a força vai para a direção de decrescimento do potencial. Aqui dV/dx é a derivada de V em relação a x.

Passo 3

Organizar a expressão para derivar com mais calma (usar regra do quociente). Defino o numerador e denominador sem o sinal inicial para aplicar a regra do quociente com clareza:
V(x)= -\frac{N(x)}{D(x)}, \qquad N(x)=8 V_{0} a^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right), \qquad D(x)=8 a^{4}+x^{4}.
Comentário: escrever V como -N/D facilita a derivação porque a derivada de um quociente é padrão.

Passo 4

Derivar V(x). Primeiro a fórmula da derivada de um quociente: se G(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
\frac{dG}{dx}=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aplicando a isso com V(x)=-N/D (ou seja, u(x)=-N(x) e v(x)=D(x)) é conveniente calcular primeiro N'(x) e D'(x) e depois montar a combinação. Calculamos:
N(x)=8 V_{0} a^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)=8V_{0}a^{4}-8V_{0}a^{2}x^{2},
portanto
N'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(8V_{0}a^{4}-8V_{0}a^{2}x^{2}\bigr) = -16 V_{0} a^{2} x.
E
D(x)=8a^{4}+x^{4}, \qquad D'(x)=4x^{3}.

Passo 5

Montar a derivada de V. Usando V=-N/D temos
\frac{dV}{dx} = -\frac{N' D - N D'}{D^{2}}.
Então, pela relação F(x)=-\dfrac{dV}{dx},
F(x)= -\frac{dV}{dx} = \frac{N' D - N D'}{D^{2}}.
Agora vamos calcular o numerador S(x)=N' D - N D' explicitamente substituindo N',N,D',D.

Passo 6

Calcular S(x)=N' D - N D' passo a passo:
N'(x)D(x)=\bigl(-16V_{0}a^{2}x\bigr)\bigl(8a^{4}+x^{4}\bigr) = -128V_{0}a^{6}x -16V_{0}a^{2}x^{5}.
N(x)D'(x)=\bigl(8V_{0}a^{2}(a^{2}-x^{2})\bigr)\bigl(4x^{3}\bigr) =32V_{0}a^{2}x^{3}(a^{2}-x^{2}) =32V_{0}a^{4}x^{3}-32V_{0}a^{2}x^{5}.
Agora subtrai-se:
S(x)=N' D - N D' = \bigl(-128V_{0}a^{6}x -16V_{0}a^{2}x^{5}\bigr) - \bigl(32V_{0}a^{4}x^{3}-32V_{0}a^{2}x^{5}\bigr).
Agrupando termos semelhantes (atenção nas contas):
S(x)= -128V_{0}a^{6}x -16V_{0}a^{2}x^{5} -32V_{0}a^{4}x^{3} +32V_{0}a^{2}x^{5}.
Combinar os termos em x^{5}: -16V_{0}a^{2}x^{5}+32V_{0}a^{2}x^{5}=16V_{0}a^{2}x^{5}. Assim:
S(x)= -128V_{0}a^{6}x -32V_{0}a^{4}x^{3} +16V_{0}a^{2}x^{5}.

Passo 7

Fatoração para simplificar a expressão final (fator comum). Observa-se fator comum 16V_{0}a^{2}x:
S(x)=16V_{0}a^{2}x\bigl(-8a^{4}-2a^{2}x^{2}+x^{4}\bigr).
Reescrevendo o polinômio interno numa ordem mais natural:
S(x)=16V_{0}a^{2}x\bigl(x^{4}-2a^{2}x^{2}-8a^{4}\bigr).

Passo 8

Dividir por D^{2} para obter F(x). Lembrando que D(x)=8a^{4}+x^{4}, temos
F(x)=\frac{S(x)}{D(x)^{2}} = \frac{16V_{0}a^{2}x\bigl(x^{4}-2a^{2}x^{2}-8a^{4}\bigr)}{\bigl(8a^{4}+x^{4}\bigr)^{2}}.
Essa é a expressão final da força como função de x. Interpretação rápida: o sinal de F(x) depende do sinal de x e do polinômio x^{4}-2a^{2}x^{2}-8a^{4}; o resto são constantes positivas ( V_{0}>0 e a>0).

Resposta

F(x)=\frac{16V_{0}a^{2}x\left(x^{4}-2a^{2}x^{2}-8a^{4}\right)}{\left(8a^{4}+x^{4}\right)^{2}}

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