2.42. Uma partícula
num núcleo está sujeita a uma força cuja energia potencial é da forma
, one
e
são constantes positivas.
b) Determine a força que age sobre a partícula
.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial da partícula
em função da posição
:
onde
e
são constantes positivas. A pergunta (item b) pede: determinar a força que age sobre a partícula
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função potencial
está completamente dada pela expressão acima. -
e são constantes (portanto não dependem de ). - A força que age numa partícula em um potencial unidimensional é pedida.
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (explicação didática):
- Em mecânica clássica unidimensional, a força
associada a um potencial é dada por
Isto vem da definição do potencial como energia cuja variação espacial determina a força; o sinal negativo indica que a força vai para a direção de decrescimento do potencial. Aqui
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Organizar a expressão para derivar com mais calma (usar regra do quociente). Defino o numerador e denominador sem o sinal inicial para aplicar a regra do quociente com clareza:
Comentário: escrever
como
facilita a derivação porque a derivada de um quociente é padrão.
Passo 4
Derivar
. Primeiro a fórmula da derivada de um quociente: se
então
Aplicando a isso com
(ou seja,
e
) é conveniente calcular primeiro
e
e depois montar a combinação. Calculamos:
portanto
E
Passo 5
Montar a derivada de
. Usando
temos
Então, pela relação
,
Agora vamos calcular o numerador
explicitamente substituindo
.
Passo 6
Calcular
passo a passo:
Agora subtrai-se:
Agrupando termos semelhantes (atenção nas contas):
Combinar os termos em
:
. Assim:
Passo 7
Fatoração para simplificar a expressão final (fator comum). Observa-se fator comum
:
Reescrevendo o polinômio interno numa ordem mais natural:
Passo 8
Dividir por
para obter
. Lembrando que
, temos
Essa é a expressão final da força como função de
. Interpretação rápida: o sinal de
depende do sinal de
e do polinômio
; o resto são constantes positivas (
e
).