2.2. Uma partícula de massa
está em repouso na origem. A partir de
, aplisa-se uma
nessa partícula. Sendo
e
constantes positivas e
constante, determine
e
. Discutir o resultado. [Sugestão: Escreva
em termos de exponenciais complexas].
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
parada na origem em
e, para
, aplica-se a força
com
constantes. Pedem-se
e
.
Informações e condições iniciais que vamos usar (todas tiradas do enunciado):
- massa:
. - força aplicada:
. - condições iniciais:
(partícula em repouso) e (origem).
O que se pede, em linguagem operacional:
- Resolver a equação de movimento
com para obter . - Integrar
com para obter .
Passo 2
Estratégia e justificativa do método (explicando passo a passo):
- A equação de Newton para este problema é
Como
, basta integrar essa equação de
a
:
- Para integrar a função
de forma limpa, é útil escrever o cosseno como parte real de um exponencial complexo:
Isso é permitido porque a integral do real de uma função é o real da integral da função complexa. Ou seja,
- Agora integramos a exponencial complexa diretamente:
Portanto
Iremos transformar essa expressão complexa em uma expressão real explícita (senao fica difícil usar na prova).
Passo 3
Cálculo explícito de
em forma real:
- Defina
(número positivo). - A integral pode ser manipulada e escrita na forma real. Um atalho conveniente é encontrar uma primitiva real para a integranda. Verificamos que a função
satisfaz
(basta diferenciar e simplificar; esse é um cálculo padrão que pode ser checado diretamente). Assim
- Avaliando
em e em obtemos
- Multiplicando por
resultará em . Reorganizando para mostrar termo permanente e termo transitório, temos
- Verificações rápidas e úteis na prova:
-
: plugando o segundo termo cancela o primeiro, ok. - Limite quando
(já que , o termo exponencial decai): a velocidade tende a
ou seja, um valor constante — isso corresponde ao impulso total fornecido pela força. -
Passo 4
Cálculo de
integrando
(maneira direta e limpa):
- Temos
. Usando a expressão de da etapa anterior, escrevemos
- Observe a integral do segundo termo. Mas já definimos antes a função
logo a expressão dentro da integral é
. Assim
- Mas ao usar a representação complexa e a mesma ideia de primitiva, uma conta curta (verificada diretamente) dá
Substituindo isso retorna uma expressão muito simples para a integral original:
- Substituindo na fórmula de
obtemos, finalmente,
- Verificações:
-
: substituindo dá , OK. - Para grandes
(porque ), o termo exponencial decai e o comportamento é assintótico
ou seja, deslocamento com crescimento linear de coeficiente (velocidade final constante). -
Passo 5
Discussão física e interpretação (para usar na prova e fixar a intuição):
- A força aplicada decai como
, logo tem impulso total finito. Com massa e sem outras forças dissipativas, um impulso finito causa uma mudança finita de momento, isto é uma velocidade final não nula (se o impulso não for zero). Isso explica por que tende a uma constante quando . - A posição cresce linearmente para grandes
porque a partícula continua com velocidade constante . - O termo com
em e em é o termo transitório: decai com taxa e contém as oscilações e . Em provas, normalmente é bom destacar o termo permanente (ou seja, o valor de ) e o termo transitório que decai. - Casos especiais:
- Se
for tal que , então e a partícula volta a não ter velocidade no infinito (o impulso total nulo). - Se
(força amortecimento lento), as fórmulas devem ser manipuladas como limite; a integral pode divergir dependendo de (na prática, para a força é oscilatória pura e a velocidade pode crescer sem amparo dependendo da fase média), mas aqui foi dado.
- Se