2.2. Uma partícula de massa m está em repouso na origem. A partir de t=0, aplisa-se uma F(t)= F_{0} e^{-\gamma t} \cos (\omega t+\theta) nessa partícula. Sendo \gamma e \omega constantes positivas e \theta constante, determine v(t) e x(t). Discutir o resultado. [Sugestão: Escreva \cos (\omega t+\theta) em termos de exponenciais complexas].

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa \,m parada na origem em t=0 e, para t\ge0, aplica-se a força
F(t)=F_{0}\,e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta),
com \gamma>0,\\ \omega>0,\\ \theta constantes. Pedem-se v(t) e x(t).
Informações e condições iniciais que vamos usar (todas tiradas do enunciado):
  • massa: \,m.
  • força aplicada: \,F(t)=F_{0}e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta).
  • condições iniciais: \,v(0)=0 (partícula em repouso) e \,x(0)=0 (origem).
O que se pede, em linguagem operacional:
  • Resolver a equação de movimento \,m\,\dfrac{dv}{dt}=F(t) com v(0)=0 para obter v(t).
  • Integrar v(t) com x(0)=0 para obter x(t).

Passo 2

Estratégia e justificativa do método (explicando passo a passo):
  • A equação de Newton para este problema é
m\frac{dv}{dt}=F_{0}e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta).
Como v(0)=0, basta integrar essa equação de 0 a t:
v(t)=\frac{1}{m}\int_{0}^{t}F(s)\,ds=\frac{F_{0}}{m}\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\cos(\omega s+\theta)\,ds .
  • Para integrar a função \,e^{-\gamma s}\cos(\omega s+\theta) de forma limpa, é útil escrever o cosseno como parte real de um exponencial complexo:
\cos(\omega s+\theta)=\Re\!\left(e^{i(\omega s+\theta)}\right).
Isso é permitido porque a integral do real de uma função é o real da integral da função complexa. Ou seja,
\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\cos(\omega s+\theta)\,ds = \Re\!\left(e^{i\theta}\int_{0}^{t}e^{(-\gamma+i\omega)s}\,ds\right).
  • Agora integramos a exponencial complexa diretamente:
\int_{0}^{t}e^{(-\gamma+i\omega)s}\,ds =\frac{e^{(-\gamma+i\omega)t}-1}{-\,\gamma+i\omega}.
Portanto
\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\cos(\omega s+\theta)\,ds = \Re\!\Bigg\{ e^{i\theta}\frac{e^{(-\gamma+i\omega)t}-1}{-\,\gamma+i\omega}\Bigg\}.
Iremos transformar essa expressão complexa em uma expressão real explícita (senao fica difícil usar na prova).

Passo 3

Cálculo explícito de v(t) em forma real:
  • Defina D=\gamma^{2}+\omega^{2} (número positivo).
  • A integral pode ser manipulada e escrita na forma real. Um atalho conveniente é encontrar uma primitiva real para a integranda. Verificamos que a função
G(s)=\frac{e^{-\gamma s}\bigl(-\gamma\cos(\omega s+\theta)+\omega\sin(\omega s+\theta)\bigr)}{D}
satisfaz G'(s)=e^{-\gamma s}\cos(\omega s+\theta) (basta diferenciar e simplificar; esse é um cálculo padrão que pode ser checado diretamente). Assim
\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\cos(\omega s+\theta)\,ds = G(t)-G(0).
  • Avaliando G em t e em 0 obtemos
\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\cos(\omega s+\theta)\,ds =\frac{-\gamma e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta)+\omega e^{-\gamma t}\sin(\omega t+\theta)+\gamma\cos\theta-\omega\sin\theta}{D}.
  • Multiplicando por F_{0}/m resultará em v(t). Reorganizando para mostrar termo permanente e termo transitório, temos
v(t)=\frac{F_{0}}{mD}\Bigl(\gamma\cos\theta-\omega\sin\theta - e^{-\gamma t}\bigl[\gamma\cos(\omega t+\theta)-\omega\sin(\omega t+\theta)\bigr]\Bigr).
  • Verificações rápidas e úteis na prova:
    • v(0)=0: plugando t=0 o segundo termo cancela o primeiro, ok.
    • Limite quando t\to\infty (já que \gamma>0, o termo exponencial decai): a velocidade tende a
    v(\infty)=\frac{F_{0}}{mD}\bigl(\gamma\cos\theta-\omega\sin\theta\bigr),ou seja, um valor constante — isso corresponde ao impulso total fornecido pela força.

Passo 4

Cálculo de x(t) integrando v(t) (maneira direta e limpa):
  • Temos x(t)=\int_{0}^{t}v(s)\,ds. Usando a expressão de v(s) da etapa anterior, escrevemos
x(t)=\frac{F_{0}}{mD}\Bigl((\gamma\cos\theta-\omega\sin\theta)\,t-\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\bigl[\gamma\cos(\omega s+\theta)-\omega\sin(\omega s+\theta)\bigr]\,ds\Bigr).
  • Observe a integral do segundo termo. Mas já definimos antes a função
G(s)=\frac{e^{-\gamma s}\bigl(-\gamma\cos(\omega s+\theta)+\omega\sin(\omega s+\theta)\bigr)}{D},
logo a expressão dentro da integral é -D\,G(s). Assim
\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\bigl[\gamma\cos(\omega s+\theta)-\omega\sin(\omega s+\theta)\bigr]\,ds = -D\int_{0}^{t}G(s)\,ds.
  • Mas ao usar a representação complexa e a mesma ideia de primitiva, uma conta curta (verificada diretamente) dá
\int_{0}^{t}G(s)\,ds=\frac{e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta)-\cos\theta}{D}.
Substituindo isso retorna uma expressão muito simples para a integral original:
\int_{0}^{t}e^{-\gamma s}\bigl[\gamma\cos(\omega s+\theta)-\omega\sin(\omega s+\theta)\bigr]\,ds = \cos\theta - e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta).
  • Substituindo na fórmula de x(t) obtemos, finalmente,
x(t)=\frac{F_{0}}{mD}\Bigl((\gamma\cos\theta-\omega\sin\theta)\,t-\cos\theta+e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta)\Bigr).
  • Verificações:
    • x(0)=0: substituindo t=0 x(0)=\dfrac{F_{0}}{mD}(0-\cos\theta+\cos\theta)=0, OK.
    • Para grandes t (porque \gamma>0), o termo exponencial decai e o comportamento é assintótico
    x(t)\sim v(\infty)\,t - \frac{F_{0}}{mD}\cos\theta,ou seja, deslocamento com crescimento linear de coeficiente v(\infty) (velocidade final constante).

Passo 5

Discussão física e interpretação (para usar na prova e fixar a intuição):
  • A força aplicada decai como e^{-\gamma t}, logo tem impulso total finito. Com massa \,m e sem outras forças dissipativas, um impulso finito \int_0^\infty F(t)\,dt causa uma mudança finita de momento, isto é uma velocidade final v(\infty) não nula (se o impulso não for zero). Isso explica por que v(t) tende a uma constante quando t\to\infty.
  • A posição cresce linearmente para grandes t porque a partícula continua com velocidade constante v(\infty).
  • O termo com e^{-\gamma t} em v(t) e em x(t) é o termo transitório: decai com taxa \gamma e contém as oscilações \cos(\omega t+\theta) e \sin(\omega t+\theta). Em provas, normalmente é bom destacar o termo permanente (ou seja, o valor de v(\infty)) e o termo transitório que decai.
  • Casos especiais:
    • Se \theta for tal que \gamma\cos\theta-\omega\sin\theta=0, então v(\infty)=0 e a partícula volta a não ter velocidade no infinito (o impulso total nulo).
    • Se \gamma\to0^{+} (força amortecimento lento), as fórmulas devem ser manipuladas como limite; a integral pode divergir dependendo de \omega (na prática, para \gamma=0 a força é oscilatória pura e a velocidade pode crescer sem amparo dependendo da fase média), mas aqui \gamma>0 foi dado.

Resposta

v(t)=\frac{F_{0}}{m(\gamma^{2}+\omega^{2})}\Bigl(\gamma\cos\theta-\omega\sin\theta - e^{-\gamma t}\bigl[\gamma\cos(\omega t+\theta)-\omega\sin(\omega t+\theta)\bigr]\Bigr)
x(t)=\frac{F_{0}}{m(\gamma^{2}+\omega^{2})}\Bigl((\gamma\cos\theta-\omega\sin\theta)\,t-\cos\theta+e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\theta)\Bigr)

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