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Em um investimento de 2 meses e meio de duração, o capital inicialmente aplicado (
) rende, nos dois primeiros meses, 10% ao mês em sistema de juros compostos. No período restante, o valor acumulado até então rende
ao mês em sistema de juros simples.
Se, ao final do investimento, o rendimento foi de
4.239,00
C$ está entre
(A)
14.950,00
\mathrm{R} $15.050,00
.
(C)
15.150,00
\mathrm{R} $15.250,00
.
Se, ao final do investimento, o rendimento foi de
(A)
(C)
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
- Dado: duração total do investimento:
meses e meio (ou seja, meses). - Dado: nos dois primeiros meses o capital inicial
rende ao mês em regime de juros compostos. - Dado: no restante do período (ou seja, nos
meses finais) o valor acumulado até então rende ao mês em regime de juros simples. - Dado: o rendimento total (juros acumulados ao final) foi de
. - Pedido: determinar entre quais intervalos (A), (B), (C) ou (D) está o valor de
.
Passo 2
Entendendo e escrevendo as fórmulas que vamos usar (com explicação didática).
- Juros compostos (mensal): se um capital
rende por período durante períodos, o montante é
onde
é o montante,
o capital inicial,
a taxa por período e
o número de períodos. Aqui
é
por mês, ou seja
(escreverei como
quando for mais claro).
- Juros simples (quando aplicado sobre um capital
por um tempo , em unidades de período da taxa): o montante é
onde
é a taxa por período e
é o número de períodos (pode ser fracionário). Ex.: para meia mês com taxa mensal,
.
Passo 3
Calcular o montante após os dois primeiros meses (parte com juros compostos).
- Começando com
, após meses a ao mês em juros compostos temos
- Calculemos o quadrado:
. Logo
Aqui
é o valor acumulado ao final dos dois primeiros meses.
Passo 4
Aplicar juros simples sobre
durante os
meses restantes a
ao mês.
- A taxa mensal é
, ou seja . Como o período é meia mês, . Pela fórmula de juros simples:
- Substituindo
:
Passo 5
Calcular o fator total e relacionar com o rendimento informado.
- Multiplicando os fatores:
- Portanto o montante final é
- O rendimento total (juros) recebido é
. Então
- O enunciado diz que esse rendimento vale
. Assim
- Agora resolvemos para
:
Para simplificar exatamente note que
(multiplicando por
obtém-se
, dividindo por
dá
). Então
Como
, tem-se
. Logo
Assim o capital inicial é
.
Passo 6
Comparação com as alternativas e conclusão.
- O valor encontrado
está entre e , portanto corresponde à alternativa (A).
Resposta
(A)
e