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Em um investimento de 2 meses e meio de duração, o capital inicialmente aplicado ( C ) rende, nos dois primeiros meses, 10% ao mês em sistema de juros compostos. No período restante, o valor acumulado até então rende 12 \% ao mês em sistema de juros simples.
Se, ao final do investimento, o rendimento foi de \mathrm{R} \ 4.239,00 , então o valor deãC$ está entre
(A) \mathrm{R} \ 14.950,00 e\mathrm{R} $15.050,00 . (B) \(\mathrm{R} \\) 15.050,00\(e\)\mathrm{R} \$15.150,00.
(C) \mathrm{R} \ 15.150,00 e\mathrm{R} $15.250,00 . (D) \(R \\) 15.250,00\(e\)R \$15.350,00.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dado: duração total do investimento: 2 meses e meio (ou seja, 2,5 meses).
  • Dado: nos dois primeiros meses o capital inicial C rende 10\% ao mês em regime de juros compostos.
  • Dado: no restante do período (ou seja, nos 0,5 meses finais) o valor acumulado até então rende 12\% ao mês em regime de juros simples.
  • Dado: o rendimento total (juros acumulados ao final) foi de \mathrm{R}\$\,4.239,00.
  • Pedido: determinar entre quais intervalos (A), (B), (C) ou (D) está o valor de C.

Passo 2

Entendendo e escrevendo as fórmulas que vamos usar (com explicação didática).
  • Juros compostos (mensal): se um capital C rende i por período durante n períodos, o montante é
A = C(1+i)^{n},
onde A é o montante, C o capital inicial, i a taxa por período e n o número de períodos. Aqui i é 10\% por mês, ou seja i=0,10 (escreverei como 10\% quando for mais claro).
  • Juros simples (quando aplicado sobre um capital P por um tempo t, em unidades de período da taxa): o montante é
A = P(1+i\,t),
onde i é a taxa por período e t é o número de períodos (pode ser fracionário). Ex.: para meia mês com taxa mensal, t=0,5.

Passo 3

Calcular o montante após os dois primeiros meses (parte com juros compostos).
  • Começando com C, após 2 meses a 10\% ao mês em juros compostos temos
B = C(1+0,10)^{2} = C(1,1)^{2}.
  • Calculemos o quadrado: (1,1)^{2}=1,21. Logo
B = C\cdot 1,21.
Aqui B é o valor acumulado ao final dos dois primeiros meses.

Passo 4

Aplicar juros simples sobre B durante os 0,5 meses restantes a 12\% ao mês.
  • A taxa mensal é 12\%, ou seja 0,12. Como o período é meia mês, t=0,5. Pela fórmula de juros simples:
A = B\bigl(1+0,12\cdot 0,5\bigr) = B(1+0,06) = B\cdot 1,06.
  • Substituindo B=C\cdot 1,21:
A = C\cdot 1,21\cdot 1,06.

Passo 5

Calcular o fator total e relacionar com o rendimento informado.
  • Multiplicando os fatores:
1,21\times 1,06 = 1,2826.
  • Portanto o montante final é
A = C\cdot 1,2826.
  • O rendimento total (juros) recebido é A-C. Então
A-C = C(1,2826-1)=C\cdot 0,2826.
  • O enunciado diz que esse rendimento vale \mathrm{R}\$\,4.239,00. Assim
C\cdot 0,2826 = 4.239.
  • Agora resolvemos para C:
C = \dfrac{4.239}{0,2826}.
Para simplificar exatamente note que 0,2826=\dfrac{1413}{5000} (multiplicando por 10.000 obtém-se 2.826, dividindo por 2 1.413/5.000). Então
C = 4.239\cdot \dfrac{5000}{1413} = \dfrac{4.239}{1.413}\cdot 5000.
Como 1.413\times 3 = 4.239, tem-se \dfrac{4.239}{1.413}=3. Logo
C = 3\cdot 5000 = 15.000.
Assim o capital inicial é \mathrm{R}\$\,15.000,00.

Passo 6

Comparação com as alternativas e conclusão.
  • O valor encontrado \mathrm{R}\$\,15.000,00 está entre \mathrm{R}\$\,14.950,00 e \mathrm{R}\$\,15.050,00, portanto corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) \mathrm{R}\$\,14.950,00 e \mathrm{R}\$\,15.050,00

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