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A área delimitada pelo eixo das abscissas, pela reta
e pelo gráfico da função real de variável real
vale
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado pede a área delimitada pelo eixo das abscissas, pela reta
e pelo gráfico da função
.
Informações dadas:
- A curva é
. - A reta vertical que limita a região é
. - O eixo das abscissas é
.
Pergunta: calcular a área da região limitada por essas curvas.
Passo 2
Para saber os limites de integração, identifico onde a curva intersecta o eixo das abscissas, isto é, resolvo
As soluções são
ou
(que dá
). Como a reta
está entre
e
, a interseção relevante à esquerda é
. Assim a região está entre
e
, e a área pedida é a integral da função positiva sobre esse intervalo:
Passo 3
Para calcular
uso integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhidos a partir do integrando. Aqui é natural escolher
porque derivando
simplificamos (
) e integrar
é simples (
).
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Como
, obtemos uma primitiva
Passo 5
Agora avalio a integral definida de
até
:
Calculo os valores:
Portanto
Colocando em denominação comum:
Passo 6
Comparei o resultado com as alternativas dadas. A expressão encontrada coincide com a alternativa (A).
Resposta
A)