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A área delimitada pelo eixo das abscissas, pela reta x=\frac{\pi}{3} e pelo gráfico da função real de variável real f(x)=x \cdot \cos x vale
(A) \frac{1}{6} \cdot(\pi \sqrt{3}-3)
(B) \frac{1}{6} \cdot(\pi \sqrt{3}+3)
(C) \frac{1}{3} \cdot(\pi \sqrt{3}-3)
(D) \frac{1}{6} \cdot(\pi+3 \sqrt{3}-6)

Passo 1

O enunciado pede a área delimitada pelo eixo das abscissas, pela reta x=\dfrac{\pi}{3} e pelo gráfico da função f(x)=x\cos x.
Informações dadas:
  • A curva é y=f(x)=x\cos x.
  • A reta vertical que limita a região é x=\dfrac{\pi}{3}.
  • O eixo das abscissas é y=0.
Pergunta: calcular a área da região limitada por essas curvas.

Passo 2

Para saber os limites de integração, identifico onde a curva intersecta o eixo das abscissas, isto é, resolvo
x\cos x = 0.
As soluções são x=0 ou \cos x=0 (que dá x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dots). Como a reta x=\dfrac{\pi}{3} está entre 0 e \dfrac{\pi}{2}, a interseção relevante à esquerda é x=0. Assim a região está entre x=0 e x=\dfrac{\pi}{3}, e a área pedida é a integral da função positiva sobre esse intervalo:
\text{Área}=\int_{0}^{\pi/3} x\cos x \, dx.Á

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int x\cos x \, dx uso integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos a partir do integrando. Aqui é natural escolher
u = x,\qquad dv = \cos x\,dx,
porque derivando u simplificamos ( du=dx) e integrar dv é simples ( v=\sin x).

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx.
Como \displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x, obtemos uma primitiva
\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C.

Passo 5

Agora avalio a integral definida de 0 até \dfrac{\pi}{3}:
\int_{0}^{\pi/3} x\cos x\,dx = \Bigl[x\sin x + \cos x\Bigr]_{0}^{\pi/3}.
Calculo os valores:
\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},\qquad \cos 0 = 1.
Portanto
\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/3} x\cos x\,dx &= \left(\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\right) - (0\cdot 0 + 1)\\[4pt] &= \dfrac{\pi\sqrt{3}}{6} + \dfrac{1}{2} - 1\\[4pt] &= \dfrac{\pi\sqrt{3}}{6} - \dfrac{1}{2}. \end{aligned}
Colocando em denominação comum:
\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi\sqrt{3}-3}{6} = \tfrac{1}{6}\bigl(\pi\sqrt{3}-3\bigr).]

Passo 6

Comparei o resultado com as alternativas dadas. A expressão encontrada coincide com a alternativa (A).

Resposta

A) \dfrac{1}{6}\cdot\bigl(\pi\sqrt{3}-3\bigr)

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