51 A reta normal ao gráfico de f(x)=\ln x, que é paralela à reta x+3 y-2=0, tem equação
a) y=-\frac{1}{3} x+\frac{1}{9}-\ln 3
b) y=-\frac{1}{3} x+\frac{1}{9}+\ln 3
c) y=-\frac{1}{3} x-\frac{1}{9}-\ln 3
d) y=-3 x+1-\ln 3
e) y=-3 x+1+\ln 3

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal ao gráfico de f(x)=\ln x que seja paralela à reta x+3y-2=0. O conteúdo envolve derivada para obter o coeficiente angular da tangente, depois do normal, e a condição de paralelismo de retas.

Passo 2

Escrevendo x+3y-2=0 em forma explicita, temos
3y=-x+2 \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac13x+\tfrac23,
logo o coeficiente angular dessa reta é -\tfrac13.

Passo 3

A derivada de f é
f'(x)=\frac1x,
que é o coeficiente angular da reta tangente. O coeficiente angular da reta normal é o negativo do recíproco de f'(x), isto é,
m_n=-\frac{1}{f'(x)}=-x.

Passo 4

Para que a normal seja paralela à reta dada, igualamos
m_n=-x=-\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac13.

Passo 5

No ponto x=\tfrac13, o valor de y no gráfico é
y=f\bigl(\tfrac13\bigr)=\ln\bigl(\tfrac13\bigr)=-\ln3.
A reta de coeficiente angular -\tfrac13 passando por \bigl(\tfrac13,-\ln3\bigr) satisfaz
y-(-\ln3)=-\tfrac13\bigl(x-\tfrac13\bigr) \;\Longrightarrow\; y+\ln3=-\tfrac13x+\tfrac19 \;\Longrightarrow\; y=-\tfrac13x+\tfrac19-\ln3.

Resposta

(a)

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