Determine todas as funções
que são simultaneamente pares e ímpares.
Passo 1
O enunciado pede todas as funções
que sejam simultaneamente pares e ímpares. Vamos usar as definições de função par e função ímpar:
– é par se, para todo
, vale
–
–
é ímpar se, para todo
, vale
Passo 2
Escrevendo a condição de paridade, temos para todo
:
Passo 3
Escrevendo a condição de imparidade, temos para todo
:
Passo 4
Igualando as duas expressões para
, obtemos
Isso implica
Passo 5
Verificamos que a função
satisfaz ambas as definições. Como a dedução acima não admitiu outra possibilidade, é a única solução.
Resposta
A única função que é simultaneamente par e ímpar é