Determine todas as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que são simultaneamente pares e ímpares.

Passo 1

O enunciado pede todas as funções f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que sejam simultaneamente pares e ímpares. Vamos usar as definições de função par e função ímpar:
f é par se, para todo x\in\mathbb{R}, vale
f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x\in\mathbb{R}, vale
f(-x)=-f(x).

Passo 2

Escrevendo a condição de paridade, temos para todo x\in\mathbb{R}:
f(-x)=f(x).

Passo 3

Escrevendo a condição de imparidade, temos para todo x\in\mathbb{R}:
f(-x)=-f(x).

Passo 4

Igualando as duas expressões para f(-x), obtemos
f(x) = -f(x).
Isso implica
2f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=0 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificamos que a função f(x)=0 satisfaz ambas as definições. Como a dedução acima não admitiu outra possibilidade, é a única solução.

Resposta

A única função que é simultaneamente par e ímpar é
f(x)=0,\quad \forall x\in\mathbb{R}.

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