Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função par e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função ímpar. Prove que:
f(g(x)) é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função par e g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função ímpar, então a composição f\bigl(g(x)\bigr) é uma função par.
Para isso, vamos usar:
– Definição de função par:
f(-t)=f(t)\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
– Definição de função ímpar:
g(-x)=-\,g(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
E lembrar que mostrar que f\circ g é par equivale a provar
f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Como g é ímpar, temos
g(-x)=-\,g(x).
Logo, substituindo na composição,
f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(-\,g(x)\bigr).

Passo 3

Como f é par, vale
f\bigl(-\,g(x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr).
Portanto
f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\forall\,x\in\mathbb{R}.

Resposta

A composição f\bigl(g(x)\bigr) satisfaz
f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)
para todo x, ou seja, f\circ g é par.

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