51 Suponha que um poço profundo seja cavado na crosta terrestre perto de um dos pólos, onde a temperatura da superfície é -40^{\circ} \mathrm{C}, até uma profundidade onde a temperatura é 800^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual é o limite teórico para a eficiência de uma máquina térmica operando entre essas duas temperaturas? (b) Se toda a energia liberada em forma de calor na fonte fria fosse usada para derreter gelo que se encontra inicialmente a -40^{\circ} \mathrm{C}, a que taxa água líquida a 0^{\circ} \mathrm{C} poderia ser produzida por uma usina de energia elétrica de 100 MW (trate-a como uma máquina térmica)? O calor específico do gelo é 2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}; o calor de fusão da água é 333 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. (Observe que neste caso a máquina térmica opera efetivamente entre 0^{\circ} \mathrm{C} e 800^{\circ} \mathrm{C}. Uma energia liberada a -40^{\circ} \mathrm{C} não pode aquecer nada acima de -40^{\circ} \mathrm{C} ).

Passo 1

O enunciado descreve um poço onde a temperatura na superfície é -40^\circ\mathrm{C} e, a certa profundidade, é 800^\circ\mathrm{C}.
(a) Pede a eficiência teórica (Carnot) de uma máquina térmica trabalhando entre essas temperaturas.
(b) Considerando uma usina de 100\\ \mathrm{MW} que opera como máquina térmica entre 800^\circ\mathrm{C} e 0^\circ\mathrm{C}, todo o calor rejeitado na fonte fria vai para aquecer e fundir gelo que está a -40^\circ\mathrm{C}. Queremos a taxa de produção de água líquida a 0^\circ\mathrm{C}.
Para resolver, vamos usar a eficiência de Carnot, balanço de energia ( Q_h, W, Q_c ) e depois calcular o calor necessário para elevar a temperatura do gelo e fundi-lo.

Passo 2

Para (a), a eficiência de Carnot é
\eta \;=\; 1 \;-\;\frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{h}}},
onde as temperaturas devem estar em kelvin. Convertendo:
T_{\mathrm{c}} = -40^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 233{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{\mathrm{h}} = 800^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 1073{,}15\\ \mathrm{K}.
Logo
\eta = 1 - \frac{233{,}15}{1073{,}15}\approx 0{,}7829\quad(\text{ou }78{,}3\%).

Passo 3

Para (b), a máquina agora opera entre T_{\mathrm{h}}=1073{,}15\\ \mathrm{K} e T_{\mathrm{c}}=273{,}15\\ \mathrm{K} ( 0^\circ\mathrm{C} ), já que o calor rejeitado a -40^\circ\mathrm{C} não aquece acima de -40^\circ\mathrm{C}. A nova eficiência de Carnot é
\eta' = 1 - \frac{273{,}15}{1073{,}15}\approx 0{,}7453.
Se a usina gera W=100\\ \mathrm{MW} de trabalho elétrico, o calor fornecido é
Q_h = \frac{W}{\eta'}\approx \frac{100}{0{,}7453}\approx 134{,}1\\ \mathrm{MW},
e o calor rejeitado na fonte fria é
Q_c = Q_h - W \approx 134{,}1 - 100 = 34{,}1\\ \mathrm{MW}.

Passo 4

Esse Q_c é usado para elevar gelo de -40^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C} (calor sensível) e depois fundi-lo (calor latente). Por quilograma de gelo:
q_{\text{por kg}} = c_{\text{gelo}}\Delta T \;+\; L_f = 2220\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\,\mathrm{K}}\times 40\\ \mathrm{K} \;+\;333{,}0\times10^3\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}} =88{,}8\times10^3 +333{,}0\times10^3 =421{,}8\times10^3\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}.
A taxa de massa de água líquida produzida é
\dot m = \frac{Q_c}{q_{\text{por kg}}} = \frac{34{,}1\times10^6\\ \mathrm{J/s}}{421{,}8\times10^3\\ \mathrm{J/kg}} \approx 80{,}8\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

(a) \displaystyle \eta \approx 78{,}3\%.
(b) \displaystyle \dot m \approx 80{,}8\\ \mathrm{kg/s} ( \approx 291 kg/h).

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