51 Suponha que um poço profundo seja cavado na crosta terrestre perto de um dos pólos, onde a temperatura da superfície é
, até uma profundidade onde a temperatura é
. (a) Qual é o limite teórico para a eficiência de uma máquina térmica operando entre essas duas temperaturas? (b) Se toda a energia liberada em forma de calor na fonte fria fosse usada para derreter gelo que se encontra inicialmente a
, a que taxa água líquida a
poderia ser produzida por uma usina de energia elétrica de 100 MW (trate-a como uma máquina térmica)? O calor específico do gelo é
; o calor de fusão da água é
. (Observe que neste caso a máquina térmica opera efetivamente entre
e
. Uma energia liberada a
não pode aquecer nada acima de
).
Passo 1
O enunciado descreve um poço onde a temperatura na superfície é
e, a certa profundidade, é
.
(a) Pede a eficiência teórica (Carnot) de uma máquina térmica trabalhando entre essas temperaturas.
(b) Considerando uma usina de que opera como máquina térmica entre
e
, todo o calor rejeitado na fonte fria vai para aquecer e fundir gelo que está a
. Queremos a taxa de produção de água líquida a
.
Para resolver, vamos usar a eficiência de Carnot, balanço de energia ( ) e depois calcular o calor necessário para elevar a temperatura do gelo e fundi-lo.
(a) Pede a eficiência teórica (Carnot) de uma máquina térmica trabalhando entre essas temperaturas.
(b) Considerando uma usina de
Para resolver, vamos usar a eficiência de Carnot, balanço de energia (
Passo 2
Para (a), a eficiência de Carnot é
onde as temperaturas devem estar em kelvin. Convertendo:
Logo
Passo 3
Para (b), a máquina agora opera entre
e
(
), já que o calor rejeitado a
não aquece acima de
. A nova eficiência de Carnot é
Se a usina gera
de trabalho elétrico, o calor fornecido é
e o calor rejeitado na fonte fria é
Passo 4
Esse
é usado para elevar gelo de
a
(calor sensível) e depois fundi-lo (calor latente). Por quilograma de gelo:
A taxa de massa de água líquida produzida é
Resposta
(a)
.
(b) (
kg/h).
(b)