53 Um lingote de cobre de 600 g a 80,0^{\circ} \mathrm{C} é colocado em 70,0 \mathrm{~g} de água a 10,0^{\circ} \mathrm{C} em um recipiente isolado. (Os calores específicos estão na Tabela 18-3.) (a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema cobre-água? Que variação de entropia (b) o cobre, (c) a água e (d) o sistema cobre-água sofrem até atingir a temperatura de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado coloca um lingote de cobre de 600\,\mathrm{g} a 80,0\,^\circ\mathrm{C} em 70,0\,\mathrm{g} de água a 10,0\,^\circ\mathrm{C} num recipiente isolado. O conteúdo principal é calorimetria e entropia:
– Para achar a temperatura de equilíbrio T_{\mathrm{eq}}, usamos conservação de energia ( Q_{\mathrm{cedido\,pelo\,Cu}=Q_{\mathrm{absorvido\,pela\,água}}).
– Para achar a variação de entropia de cada parte, usamos
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{mc}{T}\,dT = mc\ln\!\frac{T_f}{T_i}
com c_{\mathrm{Cu}}=0,385\,\mathrm{J/(g\,K)} e c_{\mathrm{H_2O}}=4,184\,\mathrm{J/(g\,K)}.

Passo 2

Escrevemos a equação de conservação de energia:
m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\bigl(T_{\,\mathrm{Cu},i}-T_{\mathrm{eq}}\bigr) = m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}}\bigl(T_{\mathrm{eq}}-T_{\,\mathrm{H_2O},i}\bigr).

Passo 3

Substituindo:
(600)(0,385)(80,0 - T_{\mathrm{eq}}) = (70)(4,184)(T_{\mathrm{eq}} - 10,0).
Isso dá
231\,(80 - T_{\mathrm{eq}}) = 292{,}88\,(T_{\mathrm{eq}} - 10),
18480 - 231\,T_{\mathrm{eq}} = 292{,}88\,T_{\mathrm{eq}} - 2928{,}8,
21408{,}8 = 523{,}88\,T_{\mathrm{eq}} \quad\Longrightarrow\quad T_{\mathrm{eq}} = 40,9\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Variação de entropia do cobre:
\Delta S_{\mathrm{Cu}} = m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}} \ln\frac{T_{\mathrm{eq,K}}}{T_{\,\mathrm{Cu},i,\mathrm{K}}},
onde T_{\mathrm{eq,K}}=314{,}05\,\mathrm{K} e T_{\,\mathrm{Cu},i,\mathrm{K}}=353{,}15\,\mathrm{K}.
Como m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}=600\cdot0,385=231\,\mathrm{J/K},
\Delta S_{\mathrm{Cu}} =231\ln\frac{314,05}{353,15} \approx -27,9\;\mathrm{J/K}.

Passo 5

Variação de entropia da água:
\Delta S_{\mathrm{H_2O}} = m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}} \ln\frac{T_{\mathrm{eq,K}}}{T_{\,\mathrm{H_2O},i,\mathrm{K}}},
onde m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}=70\cdot4,184=292{,}88\,\mathrm{J/K} e T_{\,\mathrm{H_2O},i,\mathrm{K}}=283{,}15\,\mathrm{K}.
\Delta S_{\mathrm{H_2O}} =292{,}88\ln\frac{314,05}{283,15} \approx +29,3\;\mathrm{J/K}.

Passo 6

Variação total de entropia do sistema:
\Delta S_{\mathrm{total}} =\Delta S_{\mathrm{Cu}}+\Delta S_{\mathrm{H_2O}} \approx -27,9 + 29,3 = +1,4\;\mathrm{J/K}.

Resposta

T_{\mathrm{eq}} = 40,9\,^\circ\mathrm{C}.
\Delta S_{\mathrm{Cu}} = -27,9\;\mathrm{J/K}.
\Delta S_{\mathrm{H_2O}} = +29,3\;\mathrm{J/K}.
\Delta S_{\mathrm{total}} = +1,4\;\mathrm{J/K}.

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