52 Investigue a família de curvas definidas pelas equações paramétricas x=\cos t, y=\operatorname{sen} t-\operatorname{sen} c t, onde c>0. Comece tomando c como um inteiro positivo e veja o que acontece com a forma à medida que c cresce. A seguir, explore algumas das possibilidades que ocorrem quando c é uma fração.

Passo 1

O enunciado pede para estudar, conforme varia o parâmetro c>0, as curvas paramétricas
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t-\sin(c\,t).
O conteúdo envolvido é: manipular identidades trigonométricas, determinar períodos e decidir quando a curva fecha-se num laço fechado ou não.

Passo 2

Primeiro usamos a identidade
\sin t-\sin(c\,t) =2\,\cos\!\bigl(\tfrac{t+c\,t}{2}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{t-c\,t}{2}\bigr) =2\,\cos\!\bigl(\tfrac{c+1}{2}\,t\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{1-c}{2}\,t\bigr),
o que mostra que y(t) é combinação de senos e cossenos.
– O período de x(t)=\cos t é 2\pi.
– O período de \sin(c\,t) é 2\pi/c.
Logo, se c=p/q (fração em termos inteiros positivos e coprimos), o período comum de x e y é
T=\mathrm{m.m.c.}\bigl(2\pi,\;2\pi\,\tfrac{q}{p}\bigr) =2\pi\,q.
Se c for irracional, não há período comum: a curva nunca se repete exatamente.

Passo 3

Caso c=n\in\mathbb{N}:
– O período é T=2\pi.
– Para n=1 temos y=\sin t-\sin t=0, uma linha.
– Para n\ge2, ao resolver \sin t=\sin(n\,t) vemos que há n-1 pontos de interseção com o eixo x em (\cos t,0) dentro de t\in(0,2\pi). Isso gera n-1 “lacinhos” ou “lobos” simetricamente dispostos ao longo de um ciclo.
Exemplos:
n=2 \to 1 laço.
n=3 \to 2 laços.
n=4 \to 3 laços, e assim por diante.

Passo 4

Caso c=p/q com p,q\in\mathbb{N} coprimos e p>q:
– O período é T=2\pi q, ou seja, a curva fecha-se apenas após dar q voltas “no círculo” x=\cos t.
– Em cada período completo aparecem padrões de laços — o número de oscilações de \sin(c\,t) é p, o de \sin t é 1, e o entrelaçamento forma um desenho com “ q” voltas e “ p-1” subdivisões de laço em cada volta.
Exemplo: c=3/2 T=4\pi, a curva fecha-se após duas voltas e mostra 2 laços por volta.

Passo 5

Caso c irracional:
– Não existe período comum entre \cos t e \sin(c\,t).
– O parâmetro corre na frequência 1 e na frequência irracional c, gerando um movimento quase-periódico que torna a curva densa na região do plano limitada por \lvert x\rvert\le1 e pelo envelope \lvert y\rvert\le2. Nunca se fecha num laço isolado.

Passo 6

Resumo da investigação:
  • Se c=n\in\mathbb{N}, a curva é fechada com período 2\pi e exibe n-1 laços.
  • Se c=p/q em termos reduzidos, a curva fecha com período 2\pi q e forma padrões de laços distribuídos em q voltas.
  • Se c é irracional, a curva não se fecha e preenche densamente a “fita” do plano definida por \lvert x\rvert\le1 e \lvert y\rvert\le2.

Resposta

Para c=n inteiro, período 2\pi e n-1 laços;
para c=p/q, período 2\pi q e laços conforme o entrelaçamento de p e q;
para c irracional, não há fechamento e a curva é densa na faixa \lvert x\rvert\le1,\\ \lvert y\rvert\le2.

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