52 Investigue a família de curvas definidas pelas equações paramétricas
, onde
. Comece tomando
como um inteiro positivo e veja o que acontece com a forma à medida que
cresce. A seguir, explore algumas das possibilidades que ocorrem quando
é uma fração.
Passo 1
O enunciado pede para estudar, conforme varia o parâmetro
, as curvas paramétricas
O conteúdo envolvido é: manipular identidades trigonométricas, determinar períodos e decidir quando a curva fecha-se num laço fechado ou não.
Passo 2
Primeiro usamos a identidade
o que mostra que
é combinação de senos e cossenos.
– O período de é
.
– O período de é
.
Logo, se (fração em termos inteiros positivos e coprimos), o período comum de
e
é
– O período de
– O período de
Logo, se
Se
for irracional, não há período comum: a curva nunca se repete exatamente.
Passo 3
Caso
:
– O período é .
– Para temos
, uma linha.
– Para , ao resolver
vemos que há
pontos de interseção com o eixo
em
dentro de
. Isso gera
“lacinhos” ou “lobos” simetricamente dispostos ao longo de um ciclo.
Exemplos:
• laço.
• laços.
• laços, e assim por diante.
– O período é
– Para
– Para
Exemplos:
•
•
•
Passo 4
Caso
com
coprimos e
:
– O período é , ou seja, a curva fecha-se apenas após dar
voltas “no círculo”
.
– Em cada período completo aparecem padrões de laços — o número de oscilações de é
, o de
é 1, e o entrelaçamento forma um desenho com “
” voltas e “
” subdivisões de laço em cada volta.
Exemplo: dá
, a curva fecha-se após duas voltas e mostra 2 laços por volta.
– O período é
– Em cada período completo aparecem padrões de laços — o número de oscilações de
Exemplo:
Passo 5
Caso
irracional:
– Não existe período comum entre e
.
– O parâmetro corre na frequência 1 e na frequência irracional , gerando um movimento quase-periódico que torna a curva densa na região do plano limitada por
e pelo envelope
. Nunca se fecha num laço isolado.
– Não existe período comum entre
– O parâmetro corre na frequência 1 e na frequência irracional
Passo 6
Resumo da investigação:
- Se
, a curva é fechada com período e exibe laços. - Se
em termos reduzidos, a curva fecha com período e forma padrões de laços distribuídos em voltas. - Se
é irracional, a curva não se fecha e preenche densamente a “fita” do plano definida por e .
Resposta
Para
inteiro, período
e
laços;
para , período
e laços conforme o entrelaçamento de
e
;
para irracional, não há fechamento e a curva é densa na faixa
.
para
para