Sabemos que existem 3 tipos de hepatite: A, B e C. Em um grupo de 120 pessoas, foi realizado o exame e verificou-se que todo indivíduo tinha pelo menos um tipo de hepatite; e que: 50 pessoas tinham hepatite do tipo A ; 50 tinham hepatite do tipo B ; e 50 do tipo C . Também verificou-se que a quantidade de pessoas que possuíam dois tipos de hepatite era igual a 10 , ou seja, 10 pessoas possuíam os tipos A e \mathrm{B}, 10 pessoas possuíam o B e o C , e 10 pessoas possuíam o A e o C. Pergunta-se: quantas pessoas possuíam os três tipos de hepatite?

Passo 1

O enunciado fornece três conjuntos de pessoas com hepatite A, B e C em um grupo de 120 indivíduos, sabendo-se que cada pessoa tem pelo menos um tipo de hepatite, que \lvert A\rvert = \lvert B\rvert = \lvert C\rvert = 50 e que \lvert A\cap B\rvert = \lvert A\cap C\rvert = \lvert B\cap C\rvert = 10. Pede-se \lvert A\cap B\cap C\rvert. O conteúdo principal é o Princípio da Inclusão-Exclusão.

Passo 2

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos, temos:
\lvert A\cup B\cup C\rvert \;=\; \lvert A\rvert + \lvert B\rvert + \lvert C\rvert \;-\; \lvert A\cap B\rvert \;-\; \lvert A\cap C\rvert \;-\; \lvert B\cap C\rvert \;+\; \lvert A\cap B\cap C\rvert.

Passo 3

Sabendo que todo indivíduo possui pelo menos um tipo de hepatite, \lvert A\cup B\cup C\rvert = 120. Substituindo os valores conhecidos:
120 = 50 + 50 + 50 \;-\; 10 - 10 - 10 \;+\; \lvert A\cap B\cap C\rvert.
Isso dá
120 = 150 - 30 + \lvert A\cap B\cap C\rvert = 120 + \lvert A\cap B\cap C\rvert,
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\lvert A\cap B\cap C\rvert = 0.

Resposta

Nenhuma pessoa possuía os três tipos de hepatite.

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