Quantos inteiros entre 1 e 1000 não são divisíveis nem por 5 , nem por 7 ?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros de 1 a 1000 que não são divisíveis por 5 nem por 7. Vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão: contamos quantos são divisíveis por 5 ou por 7 e subtraímos esse total de 1000.

Passo 2

Contamos quantos inteiros de 1 a 1000 são divisíveis por 5. Esse número é \displaystyle \left\lfloor \frac{1000}{5} \right\rfloor = 200.

Passo 3

Contamos quantos inteiros de 1 a 1000 são divisíveis por 7. Esse número é \displaystyle \left\lfloor \frac{1000}{7} \right\rfloor = 142.

Passo 4

Agora os que são divisíveis por ambos 5 e 7 (ou seja, por 35). São \displaystyle \left\lfloor \frac{1000}{35} \right\rfloor = 28.

Passo 5

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o total de inteiros divisíveis por 5 ou por 7 é
200 + 142 - 28 = 314.

Passo 6

Logo, os inteiros de 1 a 1000 não divisíveis nem por 5 nem por 7 são
1000 - 314 = 686.

Resposta

686

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